Разделённая ра́зность — обобщение понятия производной для дискретного набора точек.

Определение

Пусть функция ${\displaystyle f}$ задана на (связном) множестве ${\displaystyle X,}$ и фиксированы попарно различные точки ${\displaystyle x_{0},\;\ldots ,\;x_{n}\in X.}$

Тогда разделённой разностью нулевого порядка функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x_{j}}$ называют значение ${\displaystyle f(x_{j}),}$ а разделённую разность порядка ${\displaystyle k}$ для системы точек ${\displaystyle (x_{j},\;x_{j+1},\;\ldots ,\;x_{j+k})}$ определяют через разделённые разности порядка ${\displaystyle (k-1)}$ по формуле

${\displaystyle f(x_{j};\;x_{j+1};\;\ldots ;\;x_{j+k-1};\;x_{j+k})={\frac {f(x_{j+1};\;\ldots ;\;x_{j+k-1};\;x_{j+k})-f(x_{j};\;x_{j+1};\;\ldots ;\;x_{j+k-1})}{x_{j+k}-x_{j}}},}$

в частности,

${\displaystyle f(x_{0};\;x_{1})={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}},}$

${\displaystyle f(x_{0};\;x_{1};\;x_{2})={\frac {f(x_{1};\;x_{2})-f(x_{0};\;x_{1})}{x_{2}-x_{0}}}={\dfrac {{\dfrac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}-{\dfrac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}}{x_{2}-x_{0}}},}$

${\displaystyle f(x_{0};\;x_{1};\;\ldots ;\;x_{n-1};\;x_{n})={\frac {f(x_{1};\;\ldots ;\;x_{n-1};\;x_{n})-f(x_{0};\;x_{1};\;\ldots ;\;x_{n-1})}{x_{n}-x_{0}}}.}$

Для разделённой разности верна формула

${\displaystyle f(x_{0};\;x_{1};\;\ldots ;\;x_{n})=\sum _{j=0}^{n}{\dfrac {f(x_{j})}{\prod \limits _{i=0 \atop i\neq j}^{n}(x_{j}-x_{i})}},}$

в частности,

${\displaystyle f(x_{0};\;x_{1})={\frac {f(x_{1})}{x_{1}-x_{0}}}+{\frac {f(x_{0})}{x_{0}-x_{1}}},}$

${\displaystyle f(x_{0};\;x_{1};\;x_{2})={\frac {f(x_{2})}{(x_{2}-x_{1})(x_{2}-x_{0})}}+{\frac {f(x_{1})}{(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{0})}}+{\frac {f(x_{0})}{(x_{0}-x_{2})(x_{0}-x_{1})}}.}$

Разделённая разность является симметрической функцией своих аргументов, то есть при любой их перестановке её значение не меняется, в частности,

${\displaystyle f(x_{0};\;x_{1})=f(x_{1};\;x_{0}),}$

${\displaystyle f(x_{0};\;x_{1};\;x_{2})=f(x_{1};\;x_{0};\;x_{2})=f(x_{2};\;x_{1};\;x_{0}),}$

${\displaystyle f(x_{0};\;x_{1};\;\ldots ;\;x_{n-1};\;x_{n})=f(x_{n};\;x_{n-1};\;\ldots ;\;x_{1};\;x_{0}).}$

При фиксированной системе точек ${\displaystyle (x_{0},\;\ldots ,\;x_{n})}$ разделённая разность является линейным функционалом, то есть для функций ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ и скаляров ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$:

${\displaystyle (a\cdot f+b\cdot g)(x_{0};\;\ldots ;\;x_{n})=a\cdot f(x_{0};\;\ldots ;\;x_{n})+b\cdot g(x_{0};\;\ldots ;\;x_{n}).}$

Применение[править | править код]

С помощью разделённых разностей функции ${\displaystyle f}$ для узлов ${\displaystyle (x_{0},\;\ldots ,\;x_{n})}$ можно записать

как интерполяционный многочлен Ньютона «вперёд»:

${\displaystyle L_{n}(x)=f(x_{0})+f(x_{0};\;x_{1})\cdot (x-x_{0})+f(x_{0};\;x_{1};\;x_{2})\cdot (x-x_{0})\cdot (x-x_{1})+\ldots +f(x_{0};\;\ldots ;\;x_{n})\cdot \prod _{k=0}^{n-1}(x-x_{k})=}$

${\displaystyle =f(x_{0})+(x-x_{0})\cdot \left(f(x_{0};\;x_{1})+(x-x_{1})\cdot \left(f(x_{0};\;x_{1};\;x_{2})+\ldots +(x-x_{n-1})\cdot f(x_{0};\;\ldots ;\;x_{n})\ldots \right)\right),}$

так и интерполяционный многочлен Ньютона «назад»:

${\displaystyle L_{n}(x)=f(x_{n})+f(x_{n};\;x_{n-1})\cdot (x-x_{n})+f(x_{n};\;x_{n-1};\;x_{n-2})\cdot (x-x_{n})\cdot (x-x_{n-1})+\ldots +f(x_{n};\;\ldots ;\;x_{0})\cdot \prod _{k=1}^{n}(x-x_{k})=}$

${\displaystyle =f(x_{n})+(x-x_{n})\cdot \left(f(x_{n};\;x_{n-1})+(x-x_{n-1})\cdot \left(f(x_{n};\;x_{n-1};\;x_{n-2})+\ldots +(x-x_{1})\cdot f(x_{n};\;\ldots ;\;x_{0})\ldots \right)\right).}$

Преимущества:

1) для вычислений разделённых разностей требуется ${\displaystyle {\frac {(n+2)(n+1)}{2}}=O(n^{2})}$ действий (деления), что меньше, чем в других алгоритмах;

2) вычислять значения интерполяционного многочлена можно по схеме Горнера за ${\displaystyle O(n)}$ действий (умножения);

3) хранения требуют ${\displaystyle (n+1)}$ узел и ${\displaystyle (n+1)}$ разность, причём разности можно хранить (получить) в тех же ячейках, где были заданы значения ${\displaystyle f(x_{k})}$ ;

4) по сравнению с интерполяционным многочленом Лагранжа упрощено добавление нового узла.

С помощью

${\displaystyle {\begin{cases}\omega _{j}(x)=(x-x_{0})\cdot \ldots \cdot (x-x_{j-1})=\prod \limits _{k=0}^{j-1}(x-x_{k})=\omega _{j-1}(x)\cdot (x-x_{j-1}),&j>0,\\\omega _{0}(x)=1&{}\end{cases}}}$

первую из формул можно записать в виде

${\displaystyle L_{n}(x)=\sum _{j=0}^{n}f(x_{0};\;\ldots ;\;x_{j})\cdot \omega _{j}(x).}$

История[править | править код]

Ньютон использовал в своей общей формуле интерполяции (см. выше) разделённые разности, но термин, по-видимому, был введён О. де Морганом в 1848 году^[1].

Пример[править | править код]

Составить таблицу конечных разностей функции ${\displaystyle y=2x^{3}-2x^{2}+3x-1}$ от начального значения ${\displaystyle x_{0}=0}$, приняв шаг ${\displaystyle h=1}$ (см. рисунок).

См. также[править | править код]

• Конечные разности
• Численное дифференцирование