powered by CADENAS

Social Share

Соты (геометрия) (8511 views - Basics)

В геометрии соты — это заполнение пространства или плотная упаковка многогранниками так, что не остаётся незаполненного пространства. Соты являются примером более широкого математического понятия мозаика или паркет в любой размерности. Соты обычно формируются в обычном евклидовом («плоском») пространстве. Их можно также построить в неевклидовых пространствах, например, гиперболические соты. Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на его описанную сферу, что даст однородные соты в сферическом пространстве.
Go to Article

Соты (геометрия)

Соты (геометрия)

Соты (геометрия)

В геометрии соты — это заполнение пространства или плотная упаковка многогранниками так, что не остаётся незаполненного пространства. Соты являются примером более широкого математического понятия мозаика или паркет в любой размерности.

Соты обычно формируются в обычном евклидовом («плоском») пространстве. Их можно также построить в неевклидовых пространствах, например, гиперболические соты. Любой конечный однородный многогранник[en] можно спроецировать на его описанную сферу[en], что даст однородные соты в сферическом пространстве.

Классификация

Существует бесконечно много сот и они могут быть классифицированы лишь частично. Наиболее правильные мозаики получают наибольший интерес, хотя богатый и широкий набор других мозаик открывается вновь и вновь.

Простейшие соты формируются из слоёв призм, построенных из паркетов на плоскости. В частности, копии любого параллелепипеда могут заполнить пространство, при этом кубические соты[en] являются специальным случаем, поскольку только они образуют правильные соты в обычном (евклидовом) пространстве. Другим интересным примером служит тетраэдр Хилла[en] и его обобщения, которые также образуют мозаику в пространстве.

Однородные трёхмерные соты

Трёхмерные однородные соты — это соты в трёхмерном пространстве, составленные из однородных многогранников[en] имеющих одинаковые вершины (то есть группа изометрий трёхмерного пространства, сохраняющая мозаику, является транзитивной на вершинах). Существует 28 примеров выпуклых мозаик в трёхмерном евклидовом пространстве[1], называемых также архимедовыми сотами[en].

Соты называются правильными, если группа изометрий, сохраняющая мозаику, действует транзитивно на флаги, где флаг — это вершина, лежащая на ребре, которое принадлежит грани (всё вместе). Любые правильные соты являются автоматически однородными. Однако существует всего один вид правильных сот в евклидовом трёхмерном пространстве — кубические соты[en]. Двое сот являются квазиправильными (сделанными из двух типов правильных ячеек):

Тип Кубические соты[en] Квазиправильные соты
Ячейки Кубические Октаэдральные и тетраэдральные
Слой

Тетраэдрально-октаэдральные соты[en] и повёрнутые тетраэдрально-октаэдральные соты[en] состоят из слоёв, образованных 3-я или 2-я положениями тетраэдров и октаэдров. Бесконечное число уникальных сот можно получить путём разного чередования этих слоёв.

Заполняющие пространство многогранники

О трёхмерных сотах, имеющих все ячейки идентичными, включая симметрию, говорят как о ячеечно-транзитивных[en] или изохорных. Об ячейке таких сот говорят как о заполняющих пространство многогранниках[2].

Только пять заполняющих пространство многогранников могут заполнить 3-мерное евклидово пространство с использованием только параллельного переноса. Их называют параллелогранниками[en]:

  1. Кубические соты[en] (или вариации: прямоугольный параллелепипед, ромбический hexahedron или параллелепипед);
  2. Шестиугольные призматические соты[en][3];
  3. Ромбододекаэдральные соты[en];
  4. Удлинённые додекаэдральные соты[en][4];
  5. Соты из глубокоусечённых кубов[en][5].

Кубические соты[en]

Шестиугольные призматические соты[en]

Ромбододекаэдр[en]

Удлинённый ромбододекаэдр[en]

Усечённый октаэдр[en]
Куб
(параллелепипед)
Шестиугольная призма Ромбододекаэдр Удлинённый додекаэдр[en] Усечённый октаэдр
3 длины рёбер 3+1 длины рёбер 4 длины рёбер 4+1 длины рёбер 6 длины рёбер

Другие известные примеры:

Другие соты с двумя и более многогранниками

Иногда два[9] и более различных многогранника можно скомбинировать, чтобы заполнить пространство. Хорошо известным примером служит структура Уэйра-Фелана[en], заимствованная из структуры кристаллов клатратного гидрата[10].


Структура Уэйра-Фелана[en] (с двумя типами ячеек)

Невыпуклые трёхмерные соты

Документированные примеры редки. Можно различить два класса:

  • Невыпуклые ячейки, упакованные без наложения, аналогично мозаикам из вогнутых многоугольников. Они включают упаковку[en] малые звёздчатые ромбические додекаэдры[en] как в кубе Ёшимото[en].
  • Мозаики с наложением ячеек, при котором положительные и отрицательные плотности «уничтожаются» с образованием однородного по плотности континуума, аналогично мозаикам с наложением на плоскости.

Гиперболические соты

В трёхмерном гиперболическом пространстве[en] двугранный угол многогранника зависит от размера многогранника. Правильные гиперболические соты включают два вида с четырьмя или пятью додекаэдрами, имеющими общие рёбра. Их двугранные углы тогда будут π/2 и 2π/5, оба меньше, чем у евклидова додекаэдра. За исключением этого эффекта гиперболические соты удовлетворяют тем же ограничениям, что и евклидовы соты и многогранники.

Исследованы 4 вида компактных правильных гиперболических сот[en] и много однородных гиперболических сот[en].

Двойственность сот в трёхмерном пространстве

Для любых сот имеются двойственные соты, которые могут быть получены обменом:

ячеек на вершины.
граней на рёбра.

Для правильных сот:

  • Кубические соты самодвойственны.
  • Соты, состоящие из октаэдров и тетраэдров, дуальны сотам из ромбических додекаэдров.
  • Слоистые соты, полученные из однородных плоских мозаик, дуальны таким же, полученным из двойственных мозаик.
  • Двойственные соты к остальным архимедовым сотам являются ячейно-транзитивными и описаны в статье Инчбальда[11].

Самодвойственные соты

Соты могут быть самодвойственными. Все n-мерные гиперкубические соты с символами Шлефли {4,3n−2,4} самодвойственны.

См. также



This article uses material from the Wikipedia article "Соты (геометрия)", which is released under the Creative Commons Attribution-Share-Alike License 3.0. There is a list of all authors in Wikipedia

Basics

3d,cad,model,library,download,drawing,step,cad blocks,basics,university,highschool,college,grammer school,statistics,3dprinted