Бина́рная опера́ция (от лат. bi — два) — математическая операция, принимающая два аргумента и возвращающая один результат (то есть с арностью два).

Определение

Пусть ${\displaystyle A,\;B,\;C}$ — тройка непустых множеств. Бинарной операцией или двуме́стной опера́цией в паре ${\displaystyle A,\;B}$ со значениями в ${\displaystyle C}$ называется отображение ${\displaystyle P\to C}$, где ${\displaystyle P\subset A\times B}$

Если ${\displaystyle A=B=C}$, то действие называется внутренним, если ${\displaystyle A=C}$ или ${\displaystyle B=C}$ — внешним. В частности, любое внутреннее действие является внешним.

Замечание

Бинарную операцию принято обозначать знаком действия, который ставится между операндами (инфиксная форма записи). Например, для произвольной бинарной операции ${\displaystyle \circ }$ результат её применения к двум элементам ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ записывается в виде ${\displaystyle x\circ y}$.

Это не значит, что не используются другие формы записи бинарных операций. Существуют и другие виды записи:

• префиксная (польская запись) — ${\displaystyle \circ \,x\;y}$;
• постфиксная (обратная польская запись) — ${\displaystyle x\;y\,\circ }$.

Типы бинарных операций[править | править код]

Коммутативная операция[править | править код]

Бинарная операция ${\displaystyle \circ }$ называется коммутативной, если её результат не зависит от перестановки операндов, то есть

${\displaystyle x\circ y=y\circ x,\quad \forall x,\;y\in M.}$

Ассоциативная операция[править | править код]

Бинарная операция ${\displaystyle \circ }$ называется ассоциативной, если

${\displaystyle (x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z),\quad \forall x,\;y,\;z\in M.}$

Для ассоциативной операции ${\displaystyle \circ }$ результат вычисления ${\displaystyle x_{1}\circ x_{2}\circ \ldots \circ x_{n}}$ не зависит от порядка вычисления (расстановки скобок), и потому позволяется опускать скобки в записи. Для неассоциативной операции выражение ${\displaystyle x_{1}\circ x_{2}\circ \ldots \circ x_{n}}$ при ${\displaystyle n>2}$ однозначно не определено.

Существует также более слабое, чем ассоциативность, свойство: альтернативная операция.

Примеры[править | править код]

Примерами бинарных операций могут служить сложение, умножение и вычитание на поле вещественных чисел. Сложение и умножение чисел являются коммутативными и ассоциативными операциями, а вычитание — нет.

Записи[править | править код]

Мультипликативная запись[править | править код]

Если абстрактную бинарную операцию на ${\displaystyle M}$ называют умноже́нием, то её результат для элементов ${\displaystyle x,\;y\in M}$ называют их произведе́нием и обозначают ${\displaystyle x\cdot y}$ или ${\displaystyle xy}$. В этом случае нейтральный элемент ${\displaystyle e\in M}$, то есть элемент удовлетворяющий равенствам

${\displaystyle x\cdot e=e\cdot x=x,\quad \forall x\in M,}$

называется едини́чным элеме́нтом относительно выбранной бинарной операции.

Аддитивная запись[править | править код]

Если бинарную операцию называют сложе́нием, то образ пары элементов ${\displaystyle x,\;y\in M}$ называют су́ммой и обозначают ${\displaystyle x+y}$. Обычно, если бинарную операцию называют сложением, то она предполагается коммутативной. Нейтральный элемент в аддитивной записи обозначают символом 0, называют нулевы́м элеме́нтом и пишут

${\displaystyle x+0=0+x=x,\quad \forall x\in M.}$

Обратная операция[править | править код]

Если операция обладает биективностью, то у неё существуют обратные операции. Для бинарной операции может быть до двух обратных операций (левая и правая), в случае коммутативной операции — они совпадают.

Теорема 1

Для любой бинарной операции, существует не более одного нейтрального элемента, либо эти нейтральные элементы равны

Теорема 2

Если бинарная операция ассоциативна, то для каждого элемента существует не более одного обратного

См. также[править | править код]

• Арность
• Унарная операция
• Тернарная операция