Arytmetyka (łac. arithmetica, gr. ἀριθμητική arithmētikē, z ἀριθμός – liczba) – jedna z najstarszych części matematyki. W powszechnym użyciu słowo to odnosi się do zasad opisujących podstawowe działania na liczbach (arytmetyka elementarna).

Historia

Nasza wiedza o prehistorii arytmetyki jest ograniczona do kilku niewielkich artefaktów udowadniających posługiwanie się pojęciami dodawania i odejmowania przez ludy neolityczne. Najbardziej znanym jest kość z Ishango, który według Petera Rudmana powstał pomiędzy 9000 a 6500 lat p.n.e.^[1][2][a]

Prawdopodobnie Babilończycy posiadali szeroką wiedzę w niemal wszystkich aspektach elementarnej arytmetyki już dwa tysiące lat przed naszą erą (patrz Plimpton 322). W papirusach ze starożytnego Egiptu pochodzących z XVII wieku p.n.e. można znaleźć dokładne algorytmy mnożenia i używania ułamków.

Pitagorejczycy w szóstym wieku p.n.e. uznawali arytmetykę za jedną z czterech najważniejszych nauk. Znalazło to odbicie również w programie średniowiecznych uniwersytetów jako element Quadrivium, które razem z Trivium utworzyło siedem sztuk wyzwolonych.

Współczesne algorytmy arytmetyczne (zarówno do obliczeń pisemnych, jak i elektronicznych) opierają się na cyfrach arabskich i pozycyjnym systemie liczbowym. Choć dziś stosowany jest w większości języków i kultur (mimo że istnieją naturalne systemy liczbowe), jego prostota jest kulminacją tysięcy lat rozwoju matematyki. Przykładowo Archimedes poświęcił całą pracę O liczeniu piasku wymyśleniu notacji dla zapisu wielkich liczb. Rozwój algebry w średniowiecznym świecie islamskim i w renesansowej Europie został umożliwiony przez znaczne uproszczenie obliczeń w systemie dziesiętnym.

Arytmetyka dziesiętna

System dziesiętny pozwala zapisywać liczby za pomocą dziesięciu cyfr: 0,1,2, …, 9. Liczba w takim zapisie jest sekwencją cyfr, w której znaczenie każdej cyfry zależy od jej położenia w stosunku do przecinka: przykładowo 507,36 oznacza 5 setek (10²), plus 0 dziesiątek (10¹), plus 7 jednostek (10⁰), plus 3 dziesiąte (10⁻¹) plus 6 setnych (10⁻²). Kluczową częścią tego zapisu (i jednym z głównych odkryć umożliwiających jego wprowadzenie) jest zastosowanie symbolu 0 mogącego pełnić tę samą rolę co inne cyfry.

Warto zauważyć, że ani system dziesiętny, ani żaden inny, nie pozwalają dla dowolnej liczby rzeczywistej na dokładne jej zapisanie – w przypadku liczb niewymiernych zapis po przecinku nie jest okresowy, dokładne jej wyrażenie wymagałoby więc nieskończonej liczby cyfr.

Operacje arytmetyczne

Tradycyjne operacje arytmetyczne to dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Czasem dodaje się do tej listy takie operacje jak procent, pierwiastek kwadratowy, potęga i logarytm. Arytmetyka wymaga wykonywania ich zgodnie z kolejnością działań. Każdy zbiór obiektów, dla których można wykonać cztery podstawowe operacje (poza dzieleniem przez zero) i gdzie te operacje spełniają pewne podstawowe prawa, nazywamy ciałem.

Arytmetyka w edukacji

Edukacja podstawowa w matematyce kładzie zwykle duży nacisk na nauczanie arytmetyki liczb naturalnych, całkowitych i wymiernych (w postaci ułamków zwykłych i dziesiętnych).

Arytmetyka jest uznawana za jedną z najważniejszych dziedzin w matematyce elementarnej ze względu na jej wartość w rozwoju intelektualnym i w dalszym rozwoju w matematyce. Jest to pierwszy przedmiot wyrabiający usystematyzowanie w przeprowadzaniu działań, precyzję i dokładność w operacjach numerycznych, a także biegłość w wykonywaniu operacji symbolicznych w kolejnych fazach matematyki elementarnej i matematyki wyższej.

Pierwszym polskojęzycznym podręcznikiem szkolnym poświęconym arytmetyce była Arytmetyka dla szkół narodowych, publikacja Towarzystwa do Ksiąg Elementarnych z (1785)^[3].

Zobacz też