Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali. Znany był na długo przed powstaniem tego pojęcia (patrz Benoît Mandelbrot). Konstrukcja tego zbioru była podana przez polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego w 1915^[1].

Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego.

Fraktal ten można też utworzyć z trójkąta Pascala, zabarwiając na czarno nieparzyste jego liczby^[2].

Definicja formalna

Niech ${\displaystyle T}$ będzie trójkątem ABC.

• Dzieląc ${\displaystyle T}$ na cztery mniejsze trójkąty ${\displaystyle T_{1},T_{2},T_{3}}$ i ${\displaystyle S}$, gdzie środki krawędzi są wierzchołkami trójkąta ${\displaystyle S}$, traktując ${\displaystyle S}$ jako zbiór otwarty, a trójkąty ${\displaystyle T_{i}}$ za zbiory domknięte, otrzymuje się zbiory rozłączne: ${\displaystyle S}$ i ${\displaystyle T_{1}\cup T_{2}\cup T_{3}}$. Środki krawędzi leżą w dwóch małych trójkątach (np ${\displaystyle T_{1}\cap T_{2}}$ zawiera dokładnie jeden punkt – środek odpowiedniej krawędzi).
• Każdy trójkąt ${\displaystyle T_{i}}$ dzieli się na cztery mniejsze trójkąty ${\displaystyle T_{i,1},T_{i,2},T_{i,3}}$ i ${\displaystyle S_{i}}$ w podobny sposób.
• Każdy trójkąt ${\displaystyle T_{i,j}}$ dzieli się na cztery mniejsze trójkąty ${\displaystyle T_{i,j,1},T_{i,j,2},T_{i,j,3}}$ i ${\displaystyle S_{i,j}}$, i tak dalej.

Trójkąt Sierpińskiego zawiera dokładnie te punkty trójkąta ABC, które nie są elementami zbioru

${\displaystyle S\cup (S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3})\cup (S_{11}\cup \cdots )\cup \cdots }$

Wymiar fraktalny trójkąta Sierpińskiego wynosi ln 3 / ln 2 = 1,585...

Reprezentacja cyfrowa

Każdy ciąg ${\displaystyle (a_{0},a_{1},\ldots )}$ (gdzie ${\displaystyle a_{i}\in \{1,2,3\}}$) określa punkt trójkąta Sierpińskiego, a mianowicie jedyny punkt w zbiorze ${\displaystyle T\cap T_{a_{0}}\cap T_{a_{0},a_{1}}\cap \cdots }$. Odwrotnie, dla każdego punktu ${\displaystyle P}$ można znaleźć taki ciąg określający ten punkt, tzw. reprezentację cyfrową punktu ${\displaystyle P}$. Podobnie jak w przypadku liczb rzeczywistych, nie każdy punkt trójkąta Sierpińskiego ma jednoznaczną reprezentację. Na przykład (jedyny) punkt w przekroju ${\displaystyle T_{1}\cap T_{2}}$ ma reprezentację ${\displaystyle (1,2,2,2,\ldots \,)}$ i jednocześnie reprezentację ${\displaystyle (2,1,1,1,\ldots \,)}$.

Trójkąt Sierpińskiego jako rezultat Gry w chaos[edytuj | edytuj kod]

Ciekawym algorytmem pozwalającym otrzymać trójkąt Sierpińskiego jest gra w chaos. Narysujmy trójkąt równoboczny ABC, i definiujmy D₀ := punkt A. Następnie należy wielokrotnie powtórzyć następującą operację: losowo wybieramy jeden z punktów A, B lub C, rysujemy punkt w połowie odległości między D_n i wybranym punktem. Nowo narysowany punkt oznaczamy przez D_n+1. Każdy punkt D_n będzie należeć do trójkąta Sierpińskiego, i cały trójkąt Sierpińskiego będzie prawie na pewno domknięciem zbioru {D₀, D₁,...}.

Jeśli wybieramy D₀ nie jako punkt A, lecz jako dowolny punkt trójkąta Sierpińskiego, to znowu otrzymujemy (prawie na pewno) trójkąt Sierpińskiego. Jeśli D₀ należy do trójkąta ABC ale nie do trójkąta Sierpińskiego, to żaden punkt D_n do tego trójkata nie należy, jednak otrzymujemy ten trójkąt (prawie na pewno) jako zbiór punktów skupienia ciągu (D₀, D₁, ...).

Jeśli punkty A, B i C tworzą dowolny (nierównoboczny) trójkąt, to tą samą konstrukcją otrzymujemy zniekształcony trójkąt Sierpińskiego, tzn. obraz trójkąta Sierpińskiego przez przekształcenie afiniczne.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]