Moment bezwładności (masy) – miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym względem określonej, ustalonej osi obrotu. Im większy moment, tym trudniej zmienić ruch obrotowy ciała, np. rozkręcić dane ciało lub zmniejszyć jego prędkość kątową. Moment bezwładności odgrywa analogiczną rolę w dynamice ruchu obrotowego jak masa w dynamice ruchu postępowego. Występuje on w relacjach między momentem pędu, energią kinetyczną a prędkością kątową, podobnie jak masa - między pędem, energią kinetyczną a prędkością liniową. Moment bezwładności zależy od osi obrotu ciała, a w ogólnym przypadku jest tensorem.

Moment bezwładności jako skalar

Definicja

Energia kinetyczna E punktu materialnego o masie m poruszającego się z prędkością v określa wzór:

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}mv^{2}}$

Jeżeli punkt ten porusza się po okręgu, wówczas jego energię można wyrazić w wielkościach fizycznych opisujących ruch obrotowy:

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}mr^{2}\omega ^{2}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}}$

Z powyższego wynika, że moment bezwładności punktu materialnego jest iloczynem jego masy i kwadratu odległości od osi obrotu:

${\displaystyle I=mr^{2}}$

gdzie:

${\displaystyle m}$ – masa punktu,

${\displaystyle r}$ – odległość punktu od osi obrotu,

${\displaystyle \omega }$ – prędkość kątowa.

Moment bezwładności ciała składającego się z ${\displaystyle n}$ punktów materialnych jest sumą momentów bezwładności wszystkich tych punktów względem obranej osi obrotu:

${\displaystyle I=\sum _{i=1}^{n}m_{i}r_{i}^{2}}$

Moment bezwładności ciała zależy od wyboru osi obrotu, od kształtu ciała i od rozmieszczenia masy w ciele. Moment bezwładności ma wymiar ${\displaystyle ML^{2}}$. Zwykle mierzy się go w kg·m².

Dla ciał o ciągłym rozkładzie masy sumowanie we wzorze na moment bezwładności przechodzi w całkowanie. Niech ciało będzie podzielone na nieskończenie małe elementy o masach ${\displaystyle dm}$, oraz niech ${\displaystyle r}$ oznacza odległość każdego takiego elementu od osi obrotu. W takim przypadku moment bezwładności określa wzór:

${\displaystyle I=\int \limits _{V}r^{2}dm}$

gdzie całkowanie odbywa się po całej objętości ${\displaystyle V}$ ciała.

Za pomocą momentu bezwładności ${\displaystyle I}$ bryły sztywnej, obracającej się względem pewnej osi z prędkością kątową ${\displaystyle \omega }$ względem tej osi, można wyrazić energię kinetyczną ${\displaystyle E_{K}}$ tej bryły

${\displaystyle E_{K}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}}$

Przykłady

Rura cylindryczna

Dla rury cylindrycznej o zewnętrznym promieniu ${\displaystyle R_{2}}$ i wewnętrznym ${\displaystyle R_{1}}$, obracającej się dookoła swej osi. Elementem masy jest powłoka cylindryczna o promieniu ${\displaystyle r}$, grubości ${\displaystyle dr}$, długości ${\displaystyle L}$ i gęstości materiału ${\displaystyle \rho }$ (gęstość jest jednakowa dla całej bryły), to:

• masa elementu: ${\displaystyle dm=\rho dV,}$
• objętość elementu: ${\displaystyle dV=(2\pi rdr)L,}$

skąd wynika, że

${\displaystyle dm=2\pi L\rho rdr,}$

gdzie ${\displaystyle dV}$ jest objętością cylindrycznej powłoki o masie ${\displaystyle dm.}$

Moment bezwładności cylindra względem osi wynosi:

${\displaystyle I=\int r^{2}dm=2\pi L\int \limits _{R_{1}}^{R_{2}}\rho r^{3}dr=2\pi L\rho {\frac {R_{2}^{4}-R_{1}^{4}}{4}}=\rho \pi (R_{2}^{2}-R_{1}^{2})L{\frac {R_{2}^{2}+R_{1}^{2}}{2}}}$

Całkowita masa cylindra ${\displaystyle m}$ równa się iloczynowi gęstości ${\displaystyle \rho }$ i objętości ${\displaystyle V}$:

${\displaystyle V=\pi (R_{2}^{2}-R_{1}^{2})L}$

czyli:

${\displaystyle m=\rho \pi (R_{2}^{2}-R_{1}^{2})L}$

Moment bezwładności rury cylindrycznej lub pierścienia o masie ${\displaystyle m}$, wewnętrznym promieniu ${\displaystyle R_{1}}$ oraz zewnętrznym ${\displaystyle R_{2}}$ wynosi:

${\displaystyle I={\frac {1}{2}}m(R_{2}^{2}+R_{1}^{2})}$

względem osi cylindra.

Walec

Walec można traktować jak rurę, w której promień wewnętrzny równa się 0, czyli ${\displaystyle R_{1}=0,}$ zatem:

${\displaystyle I={\frac {1}{2}}mR^{2}}$

gdzie ${\displaystyle R}$ jest promieniem pełnego walca o masie ${\displaystyle m.}$

Cienkościenna rura

Cienkościenną rurę można potraktować jako cylinder z nieskończenie cienką ścianką, czyli ${\displaystyle R_{1}=R_{2}}$, zatem:

${\displaystyle I=\ mR^{2}}$

Zobacz też[edytuj]

• geometryczny moment bezwładności
• lista momentów bezwładności
• promień bezwładności
• tensor momentu bezwładności
• twierdzenie Steinera (mechanika)