慣性モーメント

慣性モーメント
量記号	I
次元	L 2 M
SI単位	kg m2
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	古典力学
	; 運動の第2法則
	歴史（英語版）
分野
	静力学 · 動力学 / 物理学における動力学 · 運動学 · 応用力学 · 天体力学 · 連続体力学 · 統計力学
定式化
	ニュートン力学; 解析力学: ラグランジュ力学; ハミルトン力学; ;
基本概念
	空間 · 時間 · 速度 · 速さ · 質量 · 加速度 · 重力 · 力 · 力積 · トルク / モーメント / 偶力 · 運動量 · 角運動量 · 慣性 · 慣性モーメント · 基準系 · エネルギー · 運動エネルギー · 位置エネルギー · 力学的仕事 · 仮想仕事 · ダランベールの原理
主要項目
	剛体 · 運動 · ニュートン力学 · 万有引力 · 運動方程式 · 慣性系 · 非慣性系 · 回転座標系 · 慣性力 · 平面粒子運動力学 · 変位 · 相対速度 · 摩擦 · 単振動 · 調和振動子 · 短周期振動 · 減衰 · 減衰比 · 自転 · 回転運動 · 等速円運動 · 非等速円運動 · 向心力 · 遠心力 · 遠心力 (回転座標系) · 反応遠心力 · コリオリの力 · 振り子 · 回転速度 · 角加速度 · 角速度 · 角周波数 · 偏位角度
科学者
	アイザック・ニュートン · エレミア・ホロックス · レオンハルト・オイラー · ジャン・ル・ロン・ダランベール · アレクシス・クレロー · ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ · ピエール＝シモン・ラプラス · ウィリアム・ローワン・ハミルトン · シメオン・ドニ・ポアソン
	表・話・編・歴

慣性モーメント（かんせいモーメント、英: moment of inertia）あるいは慣性能率（かんせいのうりつ）、イナーシャ $I$ とは、物体の角運動量 $L$ と角速度 $ω$ との間の関係を示す量である。

定義

質点系がある回転軸まわりに一様な角速度ベクトル $ω$ で回転するとき、質点系の持つ角運動量ベクトル $L$ は次のように書ける。

${\boldsymbol {L}}=\sum _{i}m_{i}({\boldsymbol {r}}_{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}_{i}))=\sum _{i}m_{i}({\boldsymbol {\omega }}r_{i}^{2}-{\boldsymbol {r}}_{i}({\boldsymbol {r}}_{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }}))$ ^[1]

ここで $m i$ は $i$ 番目の質点の質量、 $r i$ は回転軸上の原点との相対座標である。

この式からわかるように、 $L$ は $ω$ と向きは必ずしも一致しないが、 $| ω |$ に比例する。つまり、 $ω$ は線形変換 $I$ により $L$ に移される。よって、 $I$ は行列により表現することができ、以下のように定義できる。

${\begin{pmatrix}L_{x}\\L_{y}\\L_{z}\end{pmatrix}}=\sum _{i}{\begin{pmatrix}m_{i}(r_{i}^{2}-x_{i}^{2})&-m_{i}x_{i}y_{i}&-m_{i}x_{i}z_{i}\\-m_{i}y_{i}x_{i}&m_{i}(r_{i}^{2}-y_{i}^{2})&-m_{i}y_{i}z_{i}\\-m_{i}z_{i}x_{i}&-m_{i}z_{i}y_{i}&m_{i}(r_{i}^{2}-z_{i}^{2})\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{x}\\\omega _{y}\\\omega _{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{x}\\\omega _{y}\\\omega _{z}\end{pmatrix}}$

この定義から、 $I$ が対称行列であること、またその成分は二階のテンソルとして変換することがわかる。この二階のテンソル $I$ を慣性モーメントテンソル、または簡単に慣性テンソルと呼ぶ^[2]。

また、 $I xx$ 、 $I yy$ 、 $I zz$ を（それぞれ $x$ 、 $y$ 、 $z$ 軸に関する）慣性モーメント係数（英: moment of inertia coefficient）と呼び、 $I xy$ 、 $I yz$ 、 $I zx$ は 慣性乗積（英: products of inertia）と呼ぶ。

ある軸まわりの慣性モーメント

物体をある回転軸まわりに回転させたとき、 $ω$ と同じ向きをもつ単位ベクトル $n$ をもちいると、回転軸にそった角運動量成分は次のように与えられる。

${\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {L}}={\boldsymbol {n}}\cdot ({\boldsymbol {I}}\omega {\boldsymbol {n}})={\boldsymbol {n}}\cdot ({\boldsymbol {I}}{\boldsymbol {n}})\omega \equiv I\omega$

ここで、 $ω = | ω |$ は角速度の大きさである。

ここに与えられたスカラー量 $I={\boldsymbol {n}}\cdot ({\boldsymbol {I}}{\boldsymbol {n}})=\sum _{i}m_{i}(r_{i}^{2}-({\boldsymbol {r}}_{i}\cdot {\boldsymbol {n}})^{2})$ をその軸まわりの慣性モーメントと呼ぶ^[3]。

慣性主軸と主慣性モーメント

慣性テンソル行列は実対称行列なので、適当な直交座標系 ${e 1, e 2, e 3}$ を選ぶことで対角化（すなわち $I xy = I yz = I zx = 0$ と）することができ、そのときの座標軸を慣性主軸、慣性モーメント ${I 1, I 2, I 3}$ を主慣性モーメントと呼ぶ。慣性主軸座標系では角運動量は

{\begin{pmatrix}L_{1}\\L_{2}\\L_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{1}&0&0\\0&I_{2}&0\\0&0&I_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\\\omega _{3}\end{pmatrix}}

と単純に表すことができる。

計算例

質点

$N$ 個の質点がその相対位置を変えずにある回転軸まわりに回転運動する場合、その系のもつ回転軸まわりの慣性モーメントは、

$I=\sum _{i}m_{i}d_{i}^{2}$

で求められる。 $m i$ は $i$ 番目の質点の質量、d_i は回転軸からの距離であり、 $d_{i}^{2}=r_{i}^{2}-({\boldsymbol {r}}_{i}\cdot {\boldsymbol {n}})^{2}$ を満たす。

いま、質点 $i$ が、回転軸から距離 $d i$ の位置で角加速度 $d ω / d t$ で運動する場合、質点 $i$ の周方向の速度が $v i = d i ω$ となることから、質点 $i$ が受けている力 $f i$ は、

f_{i}=m_{i}{\frac {\mathrm {d} v_{i}}{\mathrm {d} t}}=m_{i}d_{i}{\frac {\mathrm {d} \omega }{\mathrm {d} t}}

となる。トルクの定義により、これに $d i$ を乗ずれば質点 $i$ にはたらくトルク $t i$ を求めることが出来る。すなわち

t_{i}=d_{i}f_{i}=m_{i}d_{i}^{2}{\frac {\mathrm {d} \omega }{\mathrm {d} t}}

となる。回転体の全ての質点にかかるトルクの総和が総トルク $T$ だから、

T=\sum _{i}t_{i}=\sum _{i}m_{i}d_{i}^{2}{\frac {\mathrm {d} \omega }{\mathrm {d} t}}\equiv I{\frac {\mathrm {d} \omega }{\mathrm {d} t}}

となる。

棒の両端の質量

重さの無視できる長さ $L$ の棒の両端に、質量 $m$ 、 $M$ の物体がくっついたものを考える。棒の適当な位置に回転の中心となる点を定め、そこから両端までの腕の長さをそれぞれ $a$ 、 $L - a$ とする。このとき、中心に対する慣性モーメント $I$ は、

I=ma^{2}+M(L-a)^{2}=(m+M)\left(a-{\frac {M}{m+M}}L\right)^{2}+{\frac {mM}{m+M}}L^{2}

と、計算される。この式から分かるように、慣性モーメントは、中心（回転軸）のとり方によってその値が変わる。中心として系の重心をとったとき、慣性モーメントは最小となる。すなわちもっとも回しやすい。

連続体

連続体の慣性モーメントは、

$I=\int _{V}r^{2}\mathrm {d} m=\int _{V}\rho r^{2}\mathrm {d} V$

で求められる。 $r$ は中心軸からの距離、 $d m$ は微小質量、 $ρ$ は密度分布である。

$I_{xx}=I_{x}=\int (y^{2}+z^{2})\rho \mathrm {d} V,\quad I_{yy}=I_{y}=\int (x^{2}+z^{2})\rho \mathrm {d} V,\quad I_{zz}=I_{z}=\int (x^{2}+y^{2})\rho \mathrm {d} V$

$I_{xy}=I_{yx}=-\int xy\rho \mathrm {d} V,\quad I_{yz}=I_{zy}=-\int yz\rho \mathrm {d} V,\quad I_{zx}=I_{xz}=-\int zx\rho \mathrm {d} V$

剛体に対しては、慣性モーメントを質量で正規化して、円板、円筒などの幾何学形状だけで決まる定数式を算出して一覧表としておき、これに質量を乗じて慣性モーメントを算出することが多い。

円板

半径 $a$ 、全質量 $M$ の、一様な密度 $ρ = M / πa 2$ をもつ円板の、中心軸まわりの慣性モーメントは

$I={\frac {1}{2}}a^{2}M$

となる。

これは中心から半径 $r$ 、幅 $d r << r$ のリングの質量 $d M$ を考えると

$\mathrm {d} M=2\pi r\rho \mathrm {d} r$

より、このリングの慣性モーメント $d I$ が

$\mathrm {d} I=r^{2}\mathrm {d} M=2\pi \rho r^{3}\mathrm {d} r$

だから

$I=\int _{0}^{a}\mathrm {d} I=2\pi \rho \int _{0}^{a}r^{3}\mathrm {d} r={\frac {1}{2}}\rho \pi a^{4}$

より求めることができる。

リング状円板

円板外径 $a$ 、くり抜き内径 $b$ 、全質量 $M$ のリング状円板では、前出の $d I$ を用いて

$I=\int _{b}^{a}\mathrm {d} I=2\pi \rho {\frac {1}{4}}(a^{4}-b^{4})={\frac {1}{2}}\pi \rho (a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})={\frac {1}{2}}(a^{2}+b^{2})M$

となる。

性質

一般に、剛体の慣性モーメントは、剛体の質量に比例し、質量が軸から遠くに分布しているほど大きくなる。

また、回転軸が重心を通るとき慣性モーメントは最小値 $I G$ をとり、軸が重心から距離 $h$ だけ離れている場合、その軸の周りの慣性モーメント $I h$ は

$I_{h}=I_{\mathrm {G} }+Mh^{2}$

となる^[4]。

応用

工学での応用として、回転軸に慣性モーメントの大きい回転体を取り付けた装置をフライホイール（はずみ車）という。これは、回転速度の急激な変化を抑止したり、回転によるエネルギーを保存する目的で使用される。

参考文献

戸田, 盛和『力学』岩波書店、1982年。ISBN 4-00-007641-8。
谷腰, 欣司『小型モーターのしくみ』電波新聞社、2004年。ISBN 4-88554-775-X。
ゴールドシュタイン『古典力学 (上)』瀬川富士、矢野忠、江沢康生訳、吉岡書店〈物理学叢書 (11a)〉、1983年8月25日。ISBN 4-8427-0208-7。

脚注

^ (ゴールドシュタイン 1983, p. 248) 式(5-2)
^ (ゴールドシュタイン 1983, p. 254)
^ (ゴールドシュタイン 1983, p. 255) 式 (5-19)
^ ^a ^b (戸田 1982, pp. 167-175)
^ 谷腰欣司『小型モーターのしくみ』電波新聞社、2004年、24頁。ISBN 4-88554-775-X。
^ 堀野正俊『機械力学入門』理工学社、1990年、97頁。ISBN 4-8445-2253-1。
^ 谷腰欣司『小型モータとその使い方』日刊工業新聞社、1987年、21頁。ISBN 4-526-02147-4。
^ 電気学会電気規格調査会標準規格『JEC-2130　同期機』電気書院、2016年、8頁。
^ 日本工業標準調査会『JIS B 0119 水車及びポンプ水車用語』日本規格協会、2009年。
^ 電気設備学会編『電気設備用語辞典』オーム社、2008年。ISBN 978-4-274-20962-8。
^ モータ技術用語辞典編集委員会編『モータ技術用語辞典』日刊工業新聞社、2002年、52頁。ISBN 4-526-05034-2。
^ 電気用語辞典編集委員会編『電気用語辞典』コロナ社、1997年、643頁。ISBN 4-339-00411-1。

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