En mathématiques, un diagramme de Voronoï est un découpage du plan (pavage) en cellules à partir d'un ensemble discret de points appelés « germes ». Chaque cellule enferme un seul germe, et forme l'ensemble des points du plan plus proches de ce germe que de tous les autres. La cellule représente en quelque sorte la « zone d'influence » du germe.

Le diagramme doit son nom au mathématicien russe Gueorgui Voronoï (1868 - 1908), et est aussi appelé décomposition de Voronoï, partition de Voronoï, polygones de Voronoï, tesselation de Dirichlet ou polygones de Thiessen.

De manière plus générale, il représente une décomposition particulière d’un espace métrique déterminée par les distances à un ensemble discret d’objets de l’espace, en général un ensemble discret de points.

Histoire

On peut faire remonter l’usage informel des diagrammes de Voronoï jusqu'à Descartes en 1644 dans Principia philosophiae comme illustration de phénomène astronomique ^[1]. Dirichlet a utilisé des diagrammes de Voronoï en dimension 2 ou 3 dans son étude des formes quadratiques en 1850 (Dirichlet 1850).

En 1854, le médecin britannique John Snow a utilisé le diagramme de Voronoï pour montrer que la majorité des personnes mortes dans l’épidémie de choléra de Soho se trouvaient dans la cellule de la pompe à eau de Broad Street, donc qu'ils vivaient plus près de cette pompe que de n’importe quelle autre pompe^[2]. Il a ainsi démontré que le foyer de l'infection était cette pompe.

Les diagrammes de Voronoï portent le nom du mathématicien russe Georgy Fedoseevich Voronoï (ou Voronoy) qui a défini et étudié le cas général en dimension n en 1908. Les diagrammes de Voronoï qui sont utilisés en géophysique et en météorologie pour analyser des données de distributions spatiales (comme les mesures de chutes de pluie) sont appelés polygones de Thiessen du nom du météorologiste américain Alfred H. Thiessen (en).

Définition

Commençons par nous placer dans le plan affine ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Soit S un ensemble fini de n points du plan ; les éléments de S sont appelés centres, sites ou encore germes.

On appelle région de Voronoï — ou cellule de Voronoï — associée à un élément p de S, l’ensemble des points qui sont plus proches de p que de tout autre point de S :

${\displaystyle \mathrm {Vor_{S}} (p)=\{x\in \mathbb {R} ^{2}\ /\ \forall q\in \mathrm {S} \ \|x-p\|\leq \|x-q\|\}}$

où ||x - p|| désigne la distance entre x et p.

Si l'on appelle H(p, q) le demi-plan délimité par la médiatrice du segment [pq], on a

${\displaystyle \mathrm {H} (p,q)=\{x\in \mathbb {R} ^{2}\ /\ \|x-p\|\leq \|x-q\|\}}$

${\displaystyle \mathrm {Vor_{S}} (p)=\bigcap _{q\in \mathrm {S} \backslash \{p\}}\mathrm {H} (p,q)}$

En dimension 2, il est facile de tracer ces partitions. On se base sur le fait que la frontière entre les cellules de Voronoï de deux germes distincts se situe forcément sur la médiatrice qui sépare ces deux germes. En effet, les points de cette médiatrice sont équidistants des deux germes donc on ne peut pas affirmer qu’ils se situent dans l'une ou l'autre cellule de Voronoi. Pour un ensemble de germes, le diagramme de Voronoï se construit donc en déterminant les médiatrices de chaque couple de germes. Un point d'une médiatrice appartient alors à une frontière de Voronoï s'il est équidistant d'au moins deux germes et qu'il n'existe pas de distance plus faible entre ce point et un autre germe de l'ensemble.

On peut généraliser la notion à un espace euclidien E muni de la distance euclidienne d. Soit S un ensemble fini de n points de E. La définition devient :

${\displaystyle \mathrm {Vor_{S}} (p)=\{x\in \mathrm {E} \ /\ \forall q\in \mathrm {S} \ \mathrm {d} (x,p)\leq \mathrm {d} (x,q)\}}$

Pour deux points a et b de S, l’ensemble ${\displaystyle \Pi (a,b)}$ des points équidistants de a et b est un hyperplan affine (un sous-espace affine de co-dimension 1). Cet hyperplan est la frontière entre l’ensemble des points plus proches de a que de b, et l’ensemble des points plus proches de b que de a.

${\displaystyle \Pi (p,q)=\{x\in \mathrm {E} \ /\ \mathrm {d} (x,p)=\mathrm {d} (x,q)\}}$

On note H(a, b) le demi espace délimité par cet hyperplan contenant a, il contient alors tous les points plus proches de a que de b. La région de Voronoï associée à a est alors l’intersection des H(a, b) où b parcourt S\{a}.

${\displaystyle \mathrm {H} (p,q)=\{x\in \mathrm {E} \ /\ \mathrm {d} (x,p)\leq \mathrm {d} (x,q)\}}$

${\displaystyle \mathrm {Vor_{S}} (p)=\bigcap _{q\in \mathrm {S} \backslash \{p\}}\mathrm {H} (p,q)}$

Généralisation du diagramme de Voronoï

Pour résoudre certains problèmes, Shamos^[3] introduit la notion de diagramme de Voronoï d'un ensemble de points A (sous-ensemble de S), V(A), défini par :

${\displaystyle \mathrm {V} (\mathrm {A} )=\left\{x\in \mathrm {E} /\ \forall p\in \mathrm {A} ,\forall q\in \mathrm {S} \setminus \mathrm {A} ,\mathrm {d} (x,p)<\mathrm {d} (x,q)\right\}}$

Ainsi, V(A) est l'ensemble des points qui sont plus proches de chaque point de A que de n'importe quel point n'étant pas dans A.

Si l'on appelle H(i, j) le demi-plan délimité par la médiatrice du segment [ij] et contenant i, alors on a :

${\displaystyle \mathrm {V} (\mathrm {A} )=\bigcap _{i\in \mathrm {A} ,j\in \mathrm {S} \setminus \mathrm {A} }\mathrm {H} (i,j)}$

Les régions de Voronoï généralisées sont donc convexes, mais elles peuvent être vides. Shamos définit par la suite les diagrammes de Voronoï d'ordre k (1 ≤ k < card(S)) par la réunion des cellules de Voronoï généralisées formées par tous les sous-ensembles de k points :

${\displaystyle \mathrm {V} _{k}(\mathrm {S} )=\bigcup _{\mathrm {A} \subset \mathrm {S} ,\mathrm {card} (\mathrm {A} )=k}\mathrm {V} (\mathrm {A} )}$.

Les régions V(A) forment une partition de V_k(S).

Il définit également le « diagramme de Voronoï des points les plus éloignés » (farthest-point Voronoi diagram). Ce diagramme est construit en inversant le sens de l'inégalité

${\displaystyle {\overline {\mathrm {Vor} }}_{\mathrm {S} }(p)=\left\{x\in \mathrm {E} \ /\ \forall q\in \mathrm {S} \ \mathrm {d} (x,p)\geq \mathrm {d} (x,q)\right\}}$

Le point p ne se trouve évidemment pas dans la cellule Vor_S(p), mais à l'opposé par rapport au « centre » de l'ensemble : le point p est le point de S le plus éloigné de Vor_S(p).

Le diagramme des points les plus éloignés est entièrement déterminé par l'enveloppe convexe de S. Il ne contient pas de cellule fermée.

Ainsi, l'ensemble des points les plus éloignés d'un point p est l'ensemble des points qui sont plus proches des autres points de S :

${\displaystyle {\overline {\mathrm {Vor} }}_{\mathrm {S} }(p)=\bigcup _{q\in \complement _{\mathrm {S} }(\{p\})}\mathrm {Vor_{S}} (q)}$

donc le diagramme des points les plus éloignés est identique à V_{n - 1}(S), n = card(S).

Propriétés

Les régions de Voronoï sont des polytopes convexes en tant qu’intersection de demi espaces^[4]. L’ensemble de tels polygones partitionne E, et est la partition de Voronoï correspondant à l’ensemble S.

Une autre propriété est que les deux points les plus rapprochés sont dans des cellules adjacentes.

Relation avec la triangulation de Delaunay

Le diagramme de Voronoï d’un ensemble discret S de points est le graphe dual de la triangulation de Delaunay associée à S.

Passage du diagramme de Voronoï à la triangulation de Delaunay

Chaque germe du diagramme de Voronoï constitue un sommet dans la triangulation de Delaunay. Ces sommets sont reliés entre eux par une arête si et seulement si les cellules sont adjacentes.

${\displaystyle \mathrm {DEL} (\mathrm {S} )=\{(p,q)\in \mathrm {S} ^{2}\ /\ \mathrm {Vor_{S}} (p)\cap \mathrm {Vor_{S}} (q)\neq \varnothing \}}$

Passage de la triangulation de Delaunay au diagramme de Voronoï

Les sommets du diagramme de Voronoï sont les centres des cercles circonscrits des triangles de la triangulation de Delaunay. Les arêtes du diagramme de Voronoï sont sur les médiatrices des arêtes de la triangulation de Delaunay.

Représentation du diagramme

Graphiquement, on représente en général les parois des cellules, c'est-à-dire les points qui sont à égale distance d'au moins deux centres, et les centres associés aux cellules. On représente parfois la cellule par un aplat de couleur, avec ou sans paroi, avec une couleur différente entre chaque cellule (voir Théorème des quatre couleurs).

D'un point de vue analytique, une cellule étant une intersection de demi-plans, elle peut être représentée comme le système d'équation de ces demi-plans (voir Géométrie analytique > Demi-plan) :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}a_{1}x+b_{1}y\geqslant c_{1}\\a_{2}x+b_{2}y\geqslant c_{2}\\\cdots \end{matrix}}\right.}$

Pour représenter informatiquement un diagramme de Voronoï, John Burkardt^[5] a proposé d'utiliser un fichier avec quatre types d'enregistrement :

• s x y : point de l'ensemble S, de coordonnées (x, y) ;
• v x y : sommet (vertex) d'un polygone de Voronoï, de coordonnées (x, y) ;
• l a b c : droite (portant une arête d'un polygone), d'équation ax + by = c ;
• e l v1 v2 : arête d'un polygone, décrit par l'indice l de sa droite porteur et les indices v₁ et v₂ des sommets qui sont ses extrémités ; si un indice est égal à -1, cela signifie que le sommet est « à l'infini » (demi-droite, ou droite si les deux sommets sont à -1).

Algorithmes

Algorithme de Green et Sibson

L'algorithme de Green et Sibson est un algorithme incrémental pour calculer un diagramme de Voronoï^[6]. Il maintient un diagramme de Voronoï en ajoutant les points un à un. Sa complexité est ${\displaystyle O(n^{2})}$.

Algorithme de Shamos et Hoey

Shamos et Hoey ont montré en 1975^[3] qu'il est possible de calculer le diagramme de Voronoï d'un ensemble de n points du plan dans le temps O(n log n). Ils utilisent pour cela un raisonnement par récurrence : supposons que l'on puisse séparer l'ensemble S en deux sous-ensembles de même cardinal n/2, séparés par une droite verticale : l'ensemble G des points à gauche et l'ensemble D des points à droite. Les diagrammes respectifs de ces sous-ensembles, V(G) et V(D), sont connus, et on peut les fusionner. C'est l'algorithme de Shamos et Hoey.

On a ainsi un algorithme de type diviser pour régner, dont la complexité est O(n log n).

Algorithme de Fortune

L'algorithme de Fortune (1987, Laboratoires Bell AT&T)^[7] a été démontré comme asymptotiquement optimal. Il est en O(n log n) en temps et en O(n) en espace mémoire.

L'idée générale consiste à balayer le plan de gauche à droite avec une ligne verticale (c'est un algorithme de sweep line) ; on construit le diagramme de Voronoï progressivement. Le problème est que le diagramme déjà construit, à gauche de la ligne, dépend de points situés à droite de cette ligne, et donc non encore pris en compte. Fortune résout ce problème en considérant un front parabolique légèrement « en retard » par rapport à la droite de balayage, tel que le diagramme situé à gauche de ce front est le diagramme final.

Algorithme de Bowyer-Watson

L'algorithme de Bowyer-Watson calcule une triangulation de Delaunay, on peut ensuite passer au dual au obtenir le diagramme de Voronoi.

Applications

Les diagrammes de Voronoï sont utilisés, ou réinventés sous de nombreux noms, dans différents domaines. Ils interviennent souvent lorsque l'on cherche à partitionner l'espace en sphères d'influence :

• Reconstruction de données géographiques optimales, pour un simulateur de vol par exemple.
• Effet de Mosaïque dans un logiciel de retouche d'image.
• Construction d'un dôme géodésique dual
• Partition des structures spatiales des populations d'étoiles.
• Diagnostic de cellules cancéreuses.
• Modélisation de microstructures telles que certains aciers.
• Simulation de la circulation des fluides dans les milieux poreux.
• Simulation de paysages, notamment agricoles (les cellules de Voronoï pouvant être assimilées à des parcelles de cultures).
• Calculs de trajectoire en robotique mobile.
• Détection dans les systèmes de communications sans fil (en particulier, notion de téléphonie cellulaire).
• Résolution d'un certain nombre de problèmes de géométrie, avec souvent des applications d'optimisation spatiale (logistique, aménagement du territoire, emplacement d'une installation)^[3] :
  • recherche des plus proches voisins ;
  • problème du plus grand cercle vide ;
  • problème du voyageur de commerce ;
  • détermination de l'enveloppe convexe ;
  • problème du cercle minimum.
• En cristallographie : détermination de la maille de Wigner-Seitz et de la zone de Brillouin.
• Pour l'organisation territoriale, si les points correspondent à des ressources, les cellules de Voronoï correspondent aux territoires que desservent ces ressources de manière optimale, en considérant que l'effort d'accès est proportionnel à la distance à vol d'oiseau et que la densité de population est uniforme ; par exemple, établissement de la carte scolaire.
• Géomarketing.
• …

Bibliographie

• [Dirichlet 1850] (de) Johann Peter Gustav Dirichlet, « Über die Reduction der positiven quadratischen Formen mit drei unbestimmten ganzen Zahlen », Journal für die reine und angewandte Mathematik,‎ 1850
• [Aurenhammer 1991] (en) Franz Aurenhammer, « Voronoi diagrams : a survey of a fundamental geometric data structure », ACM Computing Surveys, vol. 23, n^o 3,‎ septembre 1991, p. 345–405 (lire en ligne)

Références

Articles connexes[modifier | modifier le code]

• Mesh de navigation
• Triangulation de Delaunay
• Algorithme de Lloyd-Max

Liens externes[modifier | modifier le code]

• M. Faidney, C. Poultney & D. Shasha, « Jouez avec les diagrammes de Voronoï », sur Interstices (consulté le 23 août 2007), article accompagné d'une applet du jeu sur Interstices
• Stéphane Bessy, « Algorithmique géométrique : algorithmes du cours », sur LIRMM (consulté le 30 janvier 2017)

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