Soient :

${\displaystyle a\ }$ : longueur d'un des 6 côtés de l'hexagone ;

${\displaystyle h\ }$ : longueur de l'apothème ;

${\displaystyle r\ }$ : longueur du rayon (rayon : ligne droite du centre de l'hexagone à l'un des 6 sommets) ;

${\displaystyle n\ }$ : nombre de côtés du polygone régulier (pour la formule générale).

L'aire d'un hexagone régulier peut se calculer avec la formule ${\displaystyle \ A=3ah\ }$ puisque l'aire d'un polygone régulier à n côtés vaut ${\displaystyle \textstyle \ {\frac {1}{2}}nah\ }$.

Cette formule permet de calculer l'aire en divisant l'hexagone en 6 triangles équilatéraux. Comme ${\displaystyle r=a}$, l'apothème ${\displaystyle h}$ se déduit à l'aide de la formule de Pythagore ${\displaystyle \textstyle \ h={\sqrt {r^{2}-\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}r}$, d'où ${\displaystyle \textstyle A=3ah={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}r^{2}.}$

• Études géométriques
• Construction d'un hexagone régulier

• Illustration d'un calcul approximatif de polygones dans un cercle, dont un hexagone (en orange)

• Un exemple de réseau (géométrie) d'un espace (vectoriel) euclidien en dimension 2. Celui traité par l'illustration possède une symétrie hexagonale.

• Un exemple de pavage hexagonal bitronqué selon une construction de Wythoff

• Un des apothèmes d'un hexagone qui relie les milieux de ses côtés à son centre.

• Polygone réguliers en étoile (clic image pour agrandir). Parmi les polygones, l’hexagone régulier n6 (à 6 cotés égaux) est situé en haut de la 4^e colonne.

• Le prisme hexagonal est un prisme droit de base un hexagone régulier.

• Géométrie sphérique : Boule à pavés hexagonaux illustrant en géométrie, une façon de mettre les polyèdres en dualité. Un polyèdre associé à un ou plusieurs autres, est dit dual d'un polyèdre.

• Géométrie architecturale : Géode ou sphère en nid d'abeille. Certaines coupoles, et certains dôme du type dômes géodésiques s'inspirent des qualités de la forme hexagonale et de son pavage.

• Exemples dans la nature
• Animation du jeu de la vie sous forme d'une structure oscillante sur une grille hexagonale : propagation dans un écosystème.

• Présentation d'une molécule de benzène (formule C6H6) qui est composée de 6 atomes de carbone (internes) et 6 atomes d'hydrogène (externes).

• Un cristal naturel de hanksite (en) (roche sédimentaire lacustre) provenant du lac Searles (en) dans le désert des Mojaves.

• Les orgues basaltiques (ici : à la Chaussée des Géants) sont des formations géologiques de blocs hexagonaux de basalte.

• Un cristal naturel d'apatite.

• Flocon de neige, de symétrie hexagonale. Il s'est formé sans contrainte spatiale pendant sa croissance. Il est donc dit automorphe : sans contact avec un autre flocon, il a développé un cristal de forme hexagonale et maclée.

• Structure cristalline idéale du graphène en grille hexagonale. Le graphène est un cristal bidimensionnel (monoplan) de carbone natif à température et pression ordinaires, dont l'empilement constitue le graphite. Il est dans les sédiments ou peut aussi se former à partir du charbon organique, du magma ou par réduction des carbonates.

• Cristal de glace hexagonal : sur ce modèle sont fabriquées des briques de verre translucides.

• L'hexagone de Saturne. C'est un phénomène météorologique persistant au pôle Nord de Saturne.

• Dans le ciel nocturne hivernal, les étoiles de l'hexagone d'hiver (ou polygone d'hiver) forment un vaste motif polygonal irrégulier dans l’hémisphère nord terrestre (à noter en rouge : le triangle d'hiver).

• On surnomme la France : « l'Hexagone » car le dessin de ses frontières métropolitaines rappelle la forme d'un hexagone (animation : France administrative et reliefs).

• Exemples d'usages humains
• Icosaèdre tronqué et ballon de football.

• Une balle de golf ronde composée d'alvéoles hexagonale pour une meilleure portance dans l'air.

• Construction d'une structure hexagonale à l'image d'un système cristallin.

• Sphère formée de barres de métal (légèrement courbes) selon le principe du jeu de construction Meccano.

• Structure interne hexagonale du Mémorial de la synagogue où apparaît l’étoile de David. Synagogue brûlée en 1938 durant la nuit de Cristal, sur la Platz der Synagoge à Göttingen (Allemagne).

• Illusion d'optique créant un hexagone des couleurs : Agrandir l'image et fixer du regard pendant 5 secondes le centre de l'hexagone coloré, puis fixer l'étoile noire (à droite). Votre cerveau fera apparaître un polygone de couleurs complémentaires.

• Sur ce schéma, en haut le miroir hexagonal pivotant d'un scanner informatique (numériseur de document)

• Le crayon a eu une forme hexagonale dès le XIX^e siècle pour une meilleure prise en main et un rangement en boîte plus facile. On doit à Ebenezer Wood le premier usage de la scie circulaire et le façonnage hexagonal des crayons.

• Cloison de l'architecte Foa sur le pavillon Expo2005 de l'Espagne, à Aichi, au Japon. À noter que dans les caves à vin, certains casiers à bouteilles ont cette forme.

• La clé Allen ou clé pour vis de fixation à six pans creux est un outil utilisé pour la manœuvre des vis, des têtes de boulons ou autre pièce possédant une empreinte hexagonale creuse à six pans creux.

• La clé en croix sert à serrer et desserrer les boulons à tête hexagonale des roues des véhicules modernes.

• Photographie de cinq poids en fonte de 5 kg à 200 g (Agrandir et poser le curseur de la souris sur chaque poids pour lire les infos)

• Une boîte aux lettres britannique de 1872 à Bristol

• Une borne géographique en pierre hexagonale datant de l'an 1734

• Vue panoramique des structures en dômes géodésiques de l'Eden Project à St Austell, dans les Cornouailles.

• Le parc national de Dry Tortugas abrite les îles de Dry Tortugas, dans l'archipel des Keys (Floride) ainsi qu'une construction humaine hexagonale: le fort Jefferson

• En Écosse, un parc à moutons de forme hexagonale et bâti en pierres sèches. Les murs des cabanes en pierre sèche sont construites sur le même principe d'assemblage et emboitage à sec.

• Construction hexagonale d'un Moulin à vent en Allemagne

• Grand baptistère hexagonal à Parme, en Italie

• Sculpture à motif hexagonal stylisé sur un mur de la citadelle d'Alep en Syrie

• Une céramique hexagonale syrienne peinte à la main

• Sol en carrelage d'une église à Séville, en Espagne. Des pavés triangulaires et carrés entourent un pavé hexagonal marron

• Mur réalisé en briques cuites hexagonales dans le musée de Kerkouane en Tunisie

• Sol en pavé autobloquant hexagonaux (sans joint) dans la station de métro Knyaginya Maria Luiza à Sofia Metropolitan, en Bulgarie. De même forme, les tomettes sont des carreaux de terre cuite jointoyés.