Eine Zylinderspule ist eine Spule, bei der die Drahtwicklung auf einem Zylindermantel liegt, also dünn gegenüber dem Zylinderdurchmesser ist.

Eine ideale Zylinderspule hat weiterhin einen im Verhältnis zum Durchmesser sehr kleinen Abstand der Drahtwindungen voneinander und damit eine sehr hohe Anzahl von Windungen. Eine Zylinderspule zum Erzeugen eines (räumlich möglichst konstanten) Magnetfeldes wird manchmal auch als Solenoid bezeichnet. Bauformen von Zylinderspulen sind unter Luftspule beschrieben. Zylinderspulen sind in der Regel einlagig, das heißt, sie haben einen schraubenförmigen Verlauf des Drahtes.

Im Grenzfall einer sehr kurzen Länge geht die Zylinderspule in eine kreisförmige Leiterschleife über.

Technische Bedeutung

Zylinderspulen haben neben der einfachen Herstell- und Berechenbarkeit folgende Merkmale bei technischen Anwendungen:

• besonders für hohe Frequenzen geeignet, weil
  • geringere kapazitive Kopplung zwischen den Anschlüssen als mehrlagige Spulen oder Toroidspulen
  • hohe Eigenresonanzfrequenz
• für hohe Spannungen besser geeignet wegen der entfallenden Probleme einer Lagenisolation
• größere Abmessungen, jedoch bessere Abführung der Verlustwärme als mehrlagige Spulen gleicher Induktivität

Zylinderspulen lassen sich gut abgleichen, indem ihre Windungen auseinandergebogen oder -gezogen werden oder ein Aluminium- oder Ferrit- bzw. Eisenpulverkern eingeschoben wird. Siehe auch Variometer. Der damit erreichbare Variationsbereich ist höher als bei einer kurzen, mehrlagigen Spule.

Der Teilchendetektor Compact Muon Solenoid (CMS) am CERN ist ein prominentes Beispiel für die großtechnische Anwendung von Zylinderspulen.

Magnetfeld

Das Magnetfeld B einer idealen Zylinderspule kann durch Integration des Biot-Savart-Gesetzes berechnet werden. Die Spule habe die Windungszahl N, Stromstärke I, Länge l und Radius R. Wir bezeichnen die Zylinderachse durch den Einheitsvektor ${\displaystyle {\hat {z}}}$, wobei z vom Mittelpunkt der Spule in Richtung der Korkenzieherregel gemessen wird. Der Abstand zur Zylinderachse sei ρ mit entsprechendem Einheitsvektor ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$ (Zylinderkoordinaten). Dann besitzt das erzeugte Feld nur eine axiale und radiale, aber keine azimutale Komponente:

${\displaystyle {\vec {B}}(\rho \,{\hat {\rho }}+z\,{\hat {z}})=B_{\rho }(\rho ,z)\,{\hat {\rho }}+B_{z}(\rho ,z)\,{\hat {z}}}$

Die Feldkomponenten betragen: ^{[1][2][3][4][5][6]}

${\displaystyle B_{\rho }={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {NI}{l}}{\frac {1}{\rho }}\left[{\sqrt {(\rho +R)^{2}+\zeta ^{2}}}{\Bigl (}(2-m)\,K(m)-2\,E(m){\Bigr )}\right]_{\zeta =z+l/2}^{\zeta =z-l/2}}$

${\displaystyle B_{z}={\frac {\mu _{0}}{2\pi }}{\frac {NI}{l}}\left[{\frac {\zeta }{\sqrt {(\rho +R)^{2}+\zeta ^{2}}}}\left({\frac {\rho -R}{\rho +R}}\,\Pi (n,m)-K(m)\right)\right]_{\zeta =z+l/2}^{\zeta =z-l/2}}$

Der Inhalt der eckigen Klammern wird subtrahiert gemäß ${\displaystyle [f(x)]_{x=a}^{x=b}=f(b)-f(a)}$. Hierbei wurde die magnetische Feldkonstante μ₀, die Substitutionen

${\displaystyle m=4R\rho /\left((\rho +R)^{2}+\zeta ^{2}\right)}$,     ${\displaystyle n=4R\rho /(\rho +R)^{2}}$

sowie die vollständigen elliptischen Integrale erster (K), zweiter (E) und dritter Art (Π) verwendet:

${\displaystyle K(m)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}}\,\mathrm {d} \varphi }$

${\displaystyle E(m)=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}\,\mathrm {d} \varphi }$

${\displaystyle \Pi (n,m)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{(1-n\sin ^{2}\varphi ){\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}}}\,\mathrm {d} \varphi }$

Entlang der Zylinderachse vereinfacht sich das Feld:

${\displaystyle {\vec {B}}(z\,{\hat {z}})={\hat {z}}\,\mu _{0}{\frac {NI}{2l}}\left({\frac {z+l/2}{\sqrt {R^{2}+(z+l/2)^{2}}}}-{\frac {z-l/2}{\sqrt {R^{2}+(z-l/2)^{2}}}}\right)}$

Im Zentrum der Spule beträgt das Feld exakt:

${\displaystyle {\vec {B}}(0)={\hat {z}}\,\mu _{0}{\frac {NI}{\sqrt {(2R)^{2}+l^{2}}}}}$

Für lange Spulen ${\displaystyle l\gg 2R}$ beträgt das Feld überall im Inneren, außer nahe den Enden

${\displaystyle {\vec {B}}\approx {\hat {z}}\,\mu _{0}{\frac {NI}{l}}}$

und sinkt und außerhalb weit weg von den Spulenenden schnell auf Null ab. Für große Abstände ${\displaystyle \rho ^{2}+z^{2}\gg R^{2}+(l/2)^{2}}$ nähert sich das Feld einem Dipolfeld mit magnetischem Moment ${\displaystyle {\vec {m}}=NIR^{2}\pi \,{\hat {z}}}$ an:

${\displaystyle {\vec {B}}(\rho \,{\hat {\rho }}+z\,{\hat {z}})\approx {\frac {\mu _{0}}{4}}NIR^{2}{\frac {3\rho z\,{\hat {\rho }}+(2z^{2}-\rho ^{2}){\hat {z}}}{{\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}^{5}}}}$

Das Magnetfeld der Zylinderspule entspricht exakt dem eines homogen magnetisierten zylinderförmigen Stabmagneten mit Magnetisierung ${\displaystyle M}$, wobei ${\displaystyle NI\;{\widehat {=}}\;Ml}$.

Induktivität

Die Induktivität einer sehr langen Zylinderspule in Luft oder Vakuum ist näherungsweise

${\displaystyle L\approx {\frac {\mu _{0}N^{2}A}{l}}}$.

Hier bedeutet ${\displaystyle A}$ die Querschnittsfläche (${\displaystyle A=R^{2}\pi }$) und ${\displaystyle \mu _{0}}$ ist die Magnetische Feldkonstante.

Bei Spulen mit ferromagnetischem Kern ist die Formel nicht mehr anwendbar, da der äußere Teil des Feldes nun relevant wird. Handelt es sich jedoch um einen geschlossenen magnetischen Kreis in der Form eines hochpermeablen Rahmens, auf den die Spule gewickelt ist, kann statt der Spulenlänge dessen mittlerer Umfang – das ist die mittlere magnetische Weglänge – und statt des Spulenquerschnittes sein mittlerer Querschnitt eingesetzt werden. Die Induktivitätsberechnung erfordert dann noch die Multiplikation mit der Permeabilitätszahl ${\displaystyle \mu _{r}}$ des Kernmaterials.

Für kürzere Luftspulen gilt folgende Näherungsformel:

${\displaystyle L\approx {\frac {\mu _{0}N^{2}A}{l+0{,}9\cdot R}}}$.

Diese Formel hat für ${\displaystyle l>0{,}8\cdot R}$ weniger als 1 % Fehler.^[7]

1. ↑ J. C. Maxwell: Electricity and Magnetism. Clarendon Press, Oxford, England 1873 (archive.org). 
2. ↑ Karl Friedrich Müller: Berechnung der Induktivität von Spulen. In: Archiv für Elektrotechnik. 17, Nr. 3, 1. Mai 1926, S. 336-353. ISSN 1432-0487. doi:10.1007/BF01655986.
3. ↑ Kuno Foelsch: Magnetfeld und Induktivität einer zylindrischen Spule. In: Archiv für Elektrotechnik. 30, Nr. 3, 3. März 1936, S. 139-157. ISSN 1432-0487. doi:10.1007/BF01657310.
4. ↑ E. E. Callaghan, S. H. Maslen: The Magnetic Field of a Finite Solenoid. In: NASA Technical Reports. NASA-TN-D-465, E-900, 1. Oktober 1960 (nasa.gov). 
5. ↑ M. W. Garrett: Calculation of Fields, Forces, and Mutual Inductances of Current Systems by Elliptic Integrals. In: Journal of Applied Physics. 34, Nr. 9, September 1963, S. 2567–2573. doi:10.1063/1.1729771.
6. ↑ Herleitung: Finite length Solenoid potential and field (Memento vom 7. März 2017 im Internet Archive) (enthält Fehler)
7. ↑ H. A. Wheeler: Simple Inductance Formulas for Radio Coils. In: Proceedings of the Institute of Radio Engineers. Band 16, Nr. 10, 1928, S. 1398–1400, doi:10.1109/JRPROC.1928.221309.