Der dynamische Auftrieb ist eine zentrale Größe in der Strömungslehre. Er ist der Anteil der auf einen umströmten Körper wirkenden Kraft, der senkrecht zur Anströmrichtung steht. Der dynamische Auftrieb ist das physikalische Grundprinzip für das natürliche Fliegen von Vögeln und Fledertieren. Außerdem ist er die Grundlage für die Funktion der Tragflächen von Flugzeugen, der Propeller, der Schiffsschrauben, der Segel, der Turbinen und Auftriebsläufer-Windkraftanlagen. Effekte des dynamischen Auftriebs werden auch zur Steuerung von U-Booten und Luftschiffen genutzt.

Die Entstehung von Auftrieb durch Anströmung wird mit der Methodik der Fluiddynamik erklärt. Diese ist Teil der klassischen Mechanik und gehorcht den Newtonschen Gesetzen und den hieraus abgeleiteten Erhaltungssätzen (Impuls- und Energieerhaltung). Bei kompressiblem Medium (Gas) ist außerdem eine thermodynamische Betrachtung der Vorgänge erforderlich.

Auftrieb entsteht bei Umströmung entsprechend geformter Körper, z. B. Tragflächen. Hierbei wird die Luft nach unten umgelenkt, also beschleunigt. Der abwärts gerichteten Kraft auf die Luft entspricht als Gegenkraft die aufwärts gerichtete Kraft auf die Tragfläche, der Auftrieb.^[2][3] Auftriebskräfte können auch in Richtung Erdboden wirken und werden dann als Abtrieb bezeichnet. Bei Rennfahrzeugen kann so mit Hilfe von Front- und Heckflügeln Anpressdruck erzeugt werden.

Einführung

Bei der Bewegung eines Körpers einer bestimmten Form und Orientierung relativ zu einem Gas oder einer Flüssigkeit wirken auf den Körper Kräfte, die durch die Umströmung hervorgerufen werden. Im Gegensatz zum statischen Auftrieb ist die Richtung des dynamischen Auftriebs nicht durch die Schwerkraft definiert, sondern durch die Richtung der Anströmung. Die gesamte Strömungskraft greift am Druckpunkt an. Sie kann in zwei Komponenten zerlegt werden, in den Widerstand in Anströmrichtung und den Auftrieb senkrecht dazu.

1. Der dynamische Auftrieb ${\displaystyle F_{\mathrm {A} }}$ ist der senkrecht zur Anströmung wirkende Anteil der gesamten Luftkraft:

   ${\displaystyle F_{\mathrm {A} }=c_{\mathrm {A} }\,{\frac {\rho }{2}}\,v^{2}\,A}$

2. Der parallel zur Anströmung wirkende Teil der gesamten Luftkraft ist der Strömungswiderstand ${\displaystyle F_{\mathrm {W} }}$.

   ${\displaystyle F_{\mathrm {W} }=c_{\mathrm {W} }\,{\frac {\rho }{2}}\,v^{2}\,A}$

Dabei bedeuten:

${\displaystyle c_{\mathrm {A} }}$ der Auftriebsbeiwert,

${\displaystyle c_{\mathrm {W} }}$ der Widerstandsbeiwert,

${\displaystyle \rho }$ die Dichte des Mediums,

${\displaystyle v}$ die Anströmgeschwindigkeit des Mediums,

${\displaystyle A}$ der Flächeninhalt der Tragfläche. Beide Kräfte sind also proportional zur gleichen Fläche.

Die Koeffizienten Auftriebsbeiwert ${\displaystyle c_{\mathrm {A} }}$ und Widerstandsbeiwert ${\displaystyle c_{\mathrm {W} }}$ sind von der Form und Orientierung des Körpers in der Strömung abhängig. Bei Tragflächen werden Form und Orientierung als Profil und Anstellwinkel ${\displaystyle {\alpha }}$ bezeichnet. Der Anstellwinkel ${\displaystyle {\alpha }}$ ist der Winkel zwischen der Profilsehne der Tragfläche und der Strömungsrichtung des Mediums. Die Größe des dynamischen Auftriebs ${\displaystyle F_{\mathrm {A} }}$ an einer Tragfläche (mit ihrem gegebenen Profil) wird also von den Größen Anstellwinkel ${\displaystyle \alpha }$ der Tragfläche und ihrer Fläche ${\displaystyle A}$ sowie der Dichte ${\displaystyle \rho }$ des Mediums und seiner Strömungsgeschwindigkeit ${\displaystyle v}$ bestimmt.

Funktionsprinzip

Die Eigenschaften der Luft, ihre Masse und ihre Viskosität (Zähigkeit), sind wichtig für das Verständnis des dynamischen Auftriebs. Außerdem wird ein im Unterschallbereich fliegendes Flugzeug betrachtet. Luft gilt im Unterschallbereich bis etwa 0,3 Mach als inkompressibles Fluid. Mit dieser Voraussetzung lässt sich das Grundprinzip des dynamischen Auftriebs qualitativ verständlicher beschreiben als bei höheren Geschwindigkeiten.^[6]

Unter Anwendung der Newtonschen Gesetze gilt insbesondere: Wenn eine Luftmenge (also eine bestimmte Masse) beschleunigt wird, wirkt eine Kraft und die Luftmasse nimmt Geschwindigkeit auf. Das heißt, ein Impuls (Produkt aus Masse und Geschwindigkeit) wird auf die Luftmenge übertragen.

Tragflächen erzeugen Impuls

Für Grundüberlegungen zum Verständnis der Aussage „Auftrieb an Tragflächen entsteht durch die Umlenkung der Luft nach unten“ wird der Luftraum aus kubischen, luftgefüllten Raumelementen zusammengesetzt. Jedes dieser Luftvolumina muss von seiner Umgebung gegen die Schwerkraft getragen werden, sonst würde es zum Erdboden stürzen:^[7]

• Volumina, die nur Luft enthalten, werden durch den statischen Auftrieb nach Archimedes von der Umgebung getragen. Die Druckdifferenz zwischen der unteren Fläche und der oberen Fläche eines Volumens, die sich durch die Druckabnahme mit zunehmender Höhe ergibt, ist die Gegenkraft zur Schwerkraft (siehe auch hydrostatischer Druck).
• Volumina, die das Flugzeug (den Vogel …) ganz enthalten, müssen mitsamt dem Flugzeug von ihrer Umgebung getragen werden.

Dafür folgt innerhalb des Volumens ständig Luft der geeignet angestellten Tragfläche in vertikaler Richtung beschleunigt nach unten (downwash^[8]). Das heißt, dass auf die Luft ein Impuls nach unten übertragen wird. Nach dem ersten Newtonschen Gesetz erfordert diese Richtungsänderung der Luftströmung nach unten eine stetig wirkende Kraft. Nach dem dritten Newtonschen Gesetz (Actio und reactio) wirkt dabei eine gleiche und entgegengesetzte Kraft, der Auftrieb, auf den Flügel.^[9]

Leicht nachvollziehbare Experimente und Beobachtungen unterstützen dieses Erklärungsmodell:

• Eine Postkarte, horizontal und mit Anstellwinkel über eine Kerze bewegt, bringt deren Flamme auch aus erstaunlich großer Höhe zum Flackern.
• Der Tischventilator bläst ständig Luft fühlbar in erstaunlich große Entfernungen.
• In der Nähe eines niedrig schwebenden Hubschraubers (Drehflügler) spürt man deutlich den von den Rotoren erzeugten Abwind.^[5]
• Flugzeuge, die mit wenig Abstand über eine glatte Wolkendecke fliegen, ziehen eine deutliche Spur in die Wolkendecke.^[10]

Warum folgt die Luft dem Flügel?

Warum lässt sich die Luft umlenken und nimmt den nach unten gerichteten Impuls auf? Warum folgt sie nach dem Ausweichen um die Flügelnase am obersten Punkt des Flügels nicht ihrer Trägheit und strömt vom Flügel weg?

Die Oberseite der bewegten Tragfläche schiebt sich unter die Luft. Dabei schafft die zu ihrer Hinterkante abfallende Oberseite der Tragfläche für die Luft mehr Platz (Volumenvergrößerung) und damit einen Unterdruck. Vom Normaldruck weiter oberhalb des Flügels wird die Luft ständig in diesen sich erweiternden Raum gedrückt (beschleunigt). Da Luft ein viskoses Gasgemisch ist und die Flügeloberseite stromlinienförmig gestaltet ist, legen sich die Luft-Stromlinen dabei an die Flügeloberseite an und werden zur tieferliegenden Hinterkante umgelenkt, wo sie wiederum bedingt durch die Viskosität gradlinig abfließen.^[6]

Woher stammt die Energie für die Impulserzeugung?

Bei Flugzeugen stammt die Energie für die stetige Erzeugung eines abwärts gerichteten Impulses der Luft, der die Richtungsänderung der Luftströmung nach unten bewirkt, aus ihrer Bewegungsenergie. Die für diese Richtungsänderung notwendige Kraft wirkt als induzierter Luftwiderstand (einem Teil des Strömungswiderstands) der Flugrichtung entgegen. Da sich die Bewegungsenergie des Flugzeugs aus seiner Masse und Geschwindigkeit ergibt, muss mit der Auftriebserzeugung bei gleichbleibender Masse des Flugzeugs notwendigerweise seine Geschwindigkeit abnehmen, wenn kein Antrieb zur Verfügung steht.^[11]

Was passiert mit dem Impuls?

Auch in Entfernungen, in denen die oben aufgeführten Downwash-Effekte nicht mehr spürbar sind, gilt der Satz der Impulserhaltung, nach dem sich der Impuls nur unter Einfluss von Kräften ändert. Vermischt sich zum Beispiel vom Ventilator abgeblasene Luft mit der Umgebung, ist dieser Prozess impulserhaltend. Durch die Vermischung ist wohl eine größere Masse Luft am Impuls beteiligt, weshalb die Strömungsgeschwindigkeit sinkt. Es wirkt aber keine Kraft auf diese Luft, weswegen der Impuls als Ganzes erhalten bleibt.

Zur Wahrung der Energieerhaltung bei Durchmischung ist zu beachten, dass durch die Abnahme der mittleren Strömungsgeschwindigkeit zwar die kinetische Energie abnimmt. Gleichwohl wird diese kinetische Energie in thermische Energie umgewandelt, wodurch die Energie als Ganzes erhalten bleibt.

Am Auftrieb beteiligte physikalische Größen

Dieser Abschnitt beschreibt zunächst das Strömungsfeld um eine Tragfläche. Anschließend werden die wichtigsten Kräfte und ihr Beitrag zum Auftrieb diskutiert.

Das Strömungsfeld

Ein Tragflächenprofil, das ein Medium mit einem geeigneten Anstellwinkel durchquert, schiebt das Medium nicht nur zur Seite. Zusätzlich wird das Medium tangential zur Bewegung beschleunigt. Auf der Unterseite erfolgt eine leichte Beschleunigung in Richtung der Bewegung wie bei einer Bugwelle. Viel stärker ist auf der Oberseite des Profils eine Beschleunigung gegen die Bewegungsrichtung, also nach hinten.

Der Einfluss des Profils ist am stärksten nahe der Oberfläche. Dies führt dazu, dass sich ursprünglich benachbarte Partikel des Mediums, die von der Vorderseite des Profils getrennt wurden, hinter dem Profil nicht wieder treffen. Vielmehr bleiben sie auf Dauer getrennt – im nebenstehenden Beispiel einer simulierten Strömung um fast eine Profiltiefe. Der Versatz des oben strömenden Mediums gegenüber dem unteren lässt sich mit gepulsten Rauchfahnen experimentell beobachten.^[1]

Der Druck

Die Skizze rechts zeigt das Druckfeld um einen Flügel. Es ist charakterisiert durch einen niedrigen Druck über dem Flügel mit zunehmendem Druck nach oben und hohem Druck unter dem Flügel mit abnehmendem Druck nach unten. Dieses Druckfeld übt daher auf die Luft der Umgebung eine Kraft nach unten aus.

Das Bild zeigt zwei Volumina (grün gestrichelt), die jeweils das Flugzeug enthalten. Ober- und unterhalb des kleinen, zentralen Volumens (die Schnittmenge aus oberem und unterem Volumen) befinden sich zwei Volumina (die zwei Restvolumina), die das Flugzeug nicht enthalten. Die auf das jeweilige Volumen wirkenden vertikalen Druckkräfte ergeben sich aus der Druckverteilung auf seinen horizontalen Randflächen:

• Das kleine, zentrale Volumen erfährt durch den Druckunterschied zwischen der oberen und unteren Begrenzungsfläche Auftrieb.
• Das große Volumen erfährt demgegenüber nur einen deutlich schwächeren Auftrieb. Die Ränder sind so weit vom Flügel entfernt, dass nur noch ein geringer Druckunterschied existiert.
• Die beiden Volumina, die das Flugzeug nicht enthalten, erfahren durch den Druck Abtrieb.

Mit zunehmender Entfernung nimmt die Änderung des Luftdrucks durch den Flügel ab. Dies erlaubt die Definition eines Einflussbereichs als das Gebiet um den Flügel, innerhalb dessen der Druck einen signifikanten Anteil am Gesamtauftrieb hat. Dieser Einflussbereich ist in jedem Falle klein (vielleicht bis zu 100 m bei Verkehrsflugzeugen) im Verhältnis zur erreichbaren Flughöhe von bis zu 20 km.

Gleichwohl enthält die integrierte Bewegungsgleichung die Impulsproduktion der Luft als zweiten Term (zur Kompensation der Gewichtskraft des Flugzeugs), die nach der Integration als Impulsfluss durch die Volumenoberfläche dargestellt wird.

Der Impulsfluss

Gelangen Luftteilchen in den oben definierten Einflussbereich des Flügels, werden sie dem dort nach unten abnehmenden Druck entsprechend nach unten beschleunigt. Entsprechend ihrer Masse wird also Vertikalimpuls produziert. Nach Verlassen des Einflussbereiches wirkt keine Kraft mehr auf die Luftteilchen – ihr Impuls bleibt erhalten.

Integriert man dies über ein ortsfestes Volumen, wird aus der Impulsproduktion der Teilchen der Impulsfluss durch die gesamte Oberfläche des Volumens.

Auf Volumina ohne Flugzeug übt das Druckfeld insgesamt eine Kraft aus, wenn sie teilweise im Einflussbereich des Flügels sind – im Allgemeinen nach unten. Da diese jedoch im Sinne dieses Artikels kräftefrei sind, und keine weiteren Kräfte vorhanden sind, ist die Impulsproduktion und damit der Impulsfluss aus dem Volumen heraus die Gegenkraft zur Druckkraft.

Bei Volumina mit Flugzeug wird das Flugzeug grundsätzlich von der Summe aus Druckkraft und Impulsproduktion (-fluss) getragen. Da die Druckkraft mit größer werdendem Volumen klein wird, bleibt im Allgemeinen nur der im Einflussbereich produzierte Impuls, der nach Verlassen des Einflussbereichs erhalten bleibt. Diese Impulsproduktion ist somit die Gegenkraft, die das Flugzeug trägt.

Die Viskosität

Die Rolle der Viskosität der Luft wurde als Voraussetzung erwähnt (s. o. Funktionsprinzip) aber weitgehend ausgeklammert. Es wurde gezeigt, dass die Umströmung des Flügels im Allgemeinen durch Produktion von Vertikalimpuls die Gegenkraft zur Gewichtskraft des Flugzeugs bildet. Es wurde jedoch nur angedeutet, warum die Luft dies tut, und die Strömung nicht z. B. wie in der Skizze ähnlich wie bei Umströmung einer quer zur Strömung stehenden Platte verläuft und dabei keinen Auftrieb liefert.

Viskose Effekte spielen nur in der Grenzschicht des Flügels eine wichtige Rolle. Diese ist auch bei Verkehrsflugzeugen nur wenige Zentimeter dick. Über die vertikale Scherung der Horizontalströmung durch die Viskosität in der Grenzschicht hat die Strömung hier die Tendenz, in Strömungsrichtung sanft gebogenen Oberflächen zu folgen.^[12][13] Direkt an der Oberfläche ist die Geschwindigkeit exakt Null. Sie wird größer mit zunehmendem Abstand von der Oberfläche, bis sie die Fluggeschwindigkeit erreicht. Durch diese Scherung hat die Luft in der Grenzschicht eine Wirbelstärke. Die Viskosität bewirkt Kräfte, durch die die Geschwindigkeiten benachbarter Stromlinien angeglichen sowie die Wirbelstärke homogenisiert werden.

Die Kausalkette zum Auftrieb

Verlässt nun ein Teilchen mit seiner Wirbelstärke wegen der gebogenen Oberfläche die Grenzschicht tangential, wird die Viskosität die Scherung des Geschwindigkeitsfeldes homogenisieren und die Wirbelstärke bleibt auf einem mittleren Wert. Mangels Scherung erzwingt sie eine gekrümmte Trajektorie in Richtung zurück zur Oberfläche. Als Gegenkraft hierzu verringert sich der Druck an der Oberfläche. Dieser niedrige Druck beschleunigt auch Luft oberhalb der Grenzschicht nach unten. Der Druck ist auch niedriger als der Druck entlang des Flügels stromaufwärts. Deshalb wird die Strömung auch tangential über den Flügel nach hinten beschleunigt.

Energieerhaltung

Bislang wurde kein Unterschied gemacht zwischen kompressibler und inkompressibler Strömung. Für die Betrachtung der Impulsbilanz unter dem Einfluss von Kräften ist diese Unterscheidung auch unwichtig. Bei der Betrachtung der Energetik ist jedoch die Arbeit gegen Volumenänderung wichtiger Bestandteil bei kompressibler Strömung. Hier wird jedoch weiterhin Stationarität aus Sicht des Flugzeugs und Reibungsfreiheit (außerhalb der Grenzschicht) angenommen.

Inkompressibilität

Für inkompressible, stationäre Strömung konstanter Dichte gilt zunächst entlang einer Trajektorie das Gesetz von Bernoulli: Die Summe aus dem Quadrat der Geschwindigkeit und dem Quotient aus Druck und Dichte ist konstant. Für Luftteilchen, die in den Einflussbereich des Flügels gelangen bedeutet dies:

• Bei Druckabnahme über dem Flügel nimmt die Strömungsgeschwindigkeit zu.
• Bei Druckzunahme unter dem Flügel nimmt die Strömungsgeschwindigkeit ab.

Das Gesetz von Bernoulli macht keine Aussage über Ursache und Wirkung, sondern es beschreibt nur eine Relation zwischen Druck- und Geschwindigkeitsfeld. Das Gesetz von Bernoulli folgt unmittelbar aus dem Prinzip der Energieerhaltung. Hierbei ist das Druckfeld ein Potential der Kraft.

Kompressibilität

Bei Umströmung eines Tragflügels kann mit hinreichender Genauigkeit Inkompressibilität angenommen werden, wenn die Fluggeschwindigkeit klein gegenüber der Schallgeschwindigkeit ist. Beim Verkehrsflug und großen Teilen des Militärfluges muss jedoch die Kompressibilität berücksichtigt werden.

Bei Druckänderung entlang einer Trajektorie ist eine Geschwindigkeitsänderung nach Bernoulli daher nicht mehr die einzige Variante, um die Energieerhaltung zu erzwingen. Alternativ hat die Luft die Möglichkeit, ihr Volumen zu vergrößern, bzw. die Dichte zu verringern. Hierbei wird Arbeit verrichtet, die durch Verringern der inneren Energie, also bei Abwesenheit von Wärmequellen durch adiabatische Abkühlung kompensiert wird. Auf diese Weise kann es zu Kondensation und Nebelbildung über der Tragflügeloberseite kommen (Bild rechts).

Andere Erklärungsmodelle

Die Zirkulation – der Beobachter am Boden

Der Beobachter am Boden blickt starr geradeaus auf die ruhenden Luftpartikel, die dann vom Flugzeugflügel durchschnitten werden, ohne dem Flügel mit dem Blick zu folgen. Die aus seiner Sicht resultierende Luftbewegung kann beschrieben werden, indem an jedem Punkt die Differenz aus der konstanten Fluggeschwindigkeit (Skizze, grüner Pfeil) und der Strömung aus Sicht des Flugzeugs gebildet wird (durch vektorielle Addition):

• Oberhalb des Flügels ist die Strömung aus Sicht des Flugzeugs schneller als die Fluggeschwindigkeit. Der Beobachter am Boden sieht daher eine Strömung entgegen der Flugrichtung (auf der Skizze nach rechts).
• Unterhalb des Flügels ist die Strömung aus Sicht des Flugzeugs langsamer als die Fluggeschwindigkeit. Der Beobachter am Boden sieht daher eine Strömung nach in Flugrichtung (auf der Skizze nach links).
• Das Druckfeld bewegt sich, wie bisher betrachtet, mit dem Flügel und bewirkt aus Sicht des am Boden stehenden Beobachters unmittelbar hinter dem Flügel eine Strömung nach unten.
• Aus Gründen der Massenerhaltung wird die Abwärtsbewegung hinter dem Flügel durch eine Aufwärtsbewegung vor dem Flügel ausgeglichen.

Diese Zirkulation wird gelegentlich zur Erklärung des Auftriebs verwendet. Hierbei wird die Bildung der Zirkulation als Gegenwirbel zum hinter dem Flügel beobachteten Anfahrwirbel erklärt und damit begründet, dass die Gesamtzirkulation aus Anfahrwirbel und Zirkulationsströmung Null sein muss (Helmholtzscher Wirbelsatz). Mathematisch liefert diese Methode in zweidimensionaler Betrachtung auch gute Ergebnisse, zur vollständigen Erklärung des Auftriebs ist sie jedoch unzureichend:

• Sie reduziert das Problem auf zwei Dimensionen, weil der zugrundeliegende Integralsatz von Stokes dies erfordert.
• Der Helmholtzsche Wirbelsatz sagt nichts über Ursache und Wirkung der beteiligten Wirbel. Im vorliegenden Fall ist der Anfahrwirbel der Gegenwirbel zur Zirkulationsströmung um den Flügel. Für die Stärke des Wirbelpaares wird die empirische Kutta-Bedingung herangezogen, nach der die Zirkulation um den Flügel so ist, dass die Strömung an der scharfkantigen Endleiste glatt abströmt.

Das mathematische Modell einer wirbelfreien Zirkulationsströmung um den mit Fluggeschwindigkeit fliegenden Flügel liefert jedoch in vielen Fällen gute quantitative Ergebnisse für den Auftrieb. Dies gilt besonders für Flügel mit großer Streckung im Unterschallbereich, also z. B. Segelflugzeuge. Der Grund liegt in der Ähnlichkeit der Vereinfachungen einer allgemeinen Strömung, damit diese nach Bernoulli oder als wirbelfreie Potentialströmung beschrieben werden kann.

Die genannte Kutta-Bedingung erfüllt zwar ihren Zweck bei der praktischen Berechnung des Auftriebs, ist aber physikalisch nicht begründbar.^[14][15] Die physikalisch korrekte Begründung liegt in der Viskosität der Luft, durch die die Luft in der wenige Millimeter dicken Grenzschicht gezwungen wird, sanft gebogenen Oberflächen zu folgen. Als Folge strömt die Luft an der scharfen Endleiste entsprechend der Kutta-Bedingung ab.

Zu Bernoulli

Die Bernoulli-Gleichung ist eine stark vereinfachte Form der Navier-Stokes-Gleichungen. Sie gilt entlang einer Trajektorie bei stationärer, inkompressibler und viskositätsfreier Strömung in einem Gebiet, das keine Wirbel enthält. Wegen dieser Einschränkungen ist die Bernoulli Gleichung nur sehr eingeschränkt zur Erklärung von Strömungen zur Auftriebsgewinnung geeignet:

• Insekten- und Vogelflug scheiden aus, weil die Umströmung der Flügel durch Flügelschlag nicht stationär ist.
• Verkehrs- und Militärflug scheiden aus, weil hier die Schallgeschwindigkeit erreicht oder überschritten wird. Die Kompressibilität ist somit zwingend zu berücksichtigen.

Beim Segel-, Motor- und auch Modellflug sowie dem Segelflug der Vögel ist die Umströmung des Flügels weitgehend stationär und die Geschwindigkeiten liegen weit unter der Schallgeschwindigkeit. Damit sind die wichtigsten Bedingungen zur Anwendung der Bernoulli-Gleichung erfüllt. Gemäß dieser Gleichung ist in einem Strömungsfeld der Druck um so geringer je höher die Geschwindigkeit der Strömung ist. Da die Luft oberhalb des Flügels besonders schnell strömt, herrscht dort ein Unterdruck, der die Tragfläche nach oben saugt. Unterhalb der Tragfläche ist die Luft verlangsamt, was mit einem Überdruck verbunden ist. Die Bernoulli-Gleichung macht keine Aussage über die Ursache der unterschiedlichen Geschwindigkeiten. Das Strömungsfeld wird als gegeben vorausgesetzt.

Oberhalb des Flügels wird das Medium nach hinten und unten beschleunigt. Damit wird ihm kinetische Energie hinzugefügt. Eine der Voraussetzungen für die Anwendung des Bernoulli-Prinzips ist aber, dass dem Medium keine Energie hinzugefügt wird. Deshalb sind Geschwindigkeit und Druck über einem Flügel nicht streng durch das Bernoulli-Prinzip miteinander verknüpft.^[16]

Stationäre und instationäre Strömungen

Bei stationärer Strömung gilt ${\displaystyle {\frac {\partial \rho {\vec {v}}}{\partial t}}=0}$, was die Umströmung aus Sicht des Flugzeugs sehr gut beschreibt. Bei stationärer Strömung (z. B. eines Flugzeugs) wird das Gewicht des Flugzeugs demnach nur durch Oberflächenkräfte, also durch die Randbedingungen des betrachteten Volumens, balanciert. Volumina hierzu sind beliebig groß, haben jedoch die Einschränkung, für diese Diskussion zeitlich konstant zu sein aus Sicht des Flugzeugs. Vogelflug (mit Flügelschlag) kann damit nicht diskutiert werden. Auch bei zeitlicher Mittelbildung über die Periode eines Flügelschlages ist wegen der Nicht-Linearität des Impulsflusses dieser Term sehr vorsichtig zu diskutieren.

Bei Stationarität sind auch rotierende Tragflächen (Rotoren von Helikoptern, Propeller, Tischventilatoren) bei dieser Form der Bewegungsgleichung zunächst ausgeschlossen. Im dann rotierenden Bezugssystem sind die Trägheitskräfte Zentrifugal- und Corioliskraft auf ihre Wichtigkeit im Kräftespiel zu diskutieren. Diese Kräfte stehen jedoch lotrecht zur Rotationsachse und spielen daher bei der Diskussion des Auftriebs keine Rolle, weil diese Kräfte parallel zur Rotationsachse zeigen.

Als mathematisches Modell zur Beschreibung des instationären Falles verwendet man dann die Euler- oder Navier-Stokes-Gleichungen.

• David Anderson, Scott Eberhardt: Understanding Flight. 1. Auflage. McGraw-Hill, New York u. a. 2001, ISBN 978-0-07-136377-8. 
• David Anderson, Scott Eberhardt: Understanding Flight. 2. Auflage. McGraw-Hill, New York u. a. 2009, ISBN 978-0-07-162696-5 (A Physical Description of Flight Buch-Auszug als PDF-Datei). 
• Holger Babinsky: How do wings work? In: Gary Williams (Hrsg.): Physics education. Band 38, Nr. 6. IOP Publishing (United Kingdom), November 2003 (University of Cambridge (PDF 370 kB) [abgerufen am 4. August 2017]). 
• G. K. Batchelor: An introduction to fluid mechanics. Cambridge University Press, Cambridge 1994, ISBN 0-521-09817-3.
• O. P. Craig, J. R. Pellam: Observation of perfect potential flow in superfluid. Phys. Rev., 108, pp. 1109ff, 1957, doi:10.1103/PhysRev.108.1109.
• P. Eastwell: Bernoulli? Perhaps, but What About Viscosity? (PDF-Datei; 208 kB) In: The Science Education Review. 6(1), 2007.
• H. Goldstein: Klassische Mechanik. Wiley-VCH, Weinheim 2006, ISBN 978-3-527-40589-3.
• Wolf-Heinrich Hucho: Aerodynamik der stumpfen Körper. Physikalische Grundlagen und Anwendungen in der Praxis. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-1462-3. 
• J. Hoffren: Quest for an improved explanation of lift. AIAA 2001-0872.
• W. Send: Physik des Fliegens. In: Physikalische Blätter. 57, Nr. 6, 2001.
• Klaus Weltner: A comparison of explanations of the aerodynamic lifting force. Am. J. Phys. 55(1), pp. 50–54, 1987, doi:10.1119/1.14960.
• Klaus Weltner: Flugphysik. Physik des Fliegens, Strömungsphysik, Raketen, Satelliten. BoD Books on Demand, Norderstedt 2016, ISBN 978-3-7412-1472-1. 
• Rita Wodzinski: Wie erklärt man das Fliegen in der Schule? Versuch einer Analyse verschiedener Erklärungsmuster. (PDF-Datei; 288 kB) Plus Lucis Fachdidaktik, 1999.

• D. Anderson, S. Eberhardt: A Physical Description of Flight; Revisited. www.udocz.com, 2009, abgerufen am 8. März 2018 (pdf; 483 kB, englisch).  (Auszug aus dem Buch Understanding Flight als PDF-Datei)
• Holger Babinsky: Flow over aerofoils. University of Cambridge, Department of Engineering, 2003, abgerufen am 7. April 2018 (englisch). 
• Beginner's Guide to Aerodynamics der NASA. Hier gibt's u. a. einen Computer-Windkanal, in dem man die Hauptparameter eines Profils verändern und die Auswirkungen auf Strömungsfeld und Kräfte beobachten kann.
• Klaus Weltner: Misinterpretations of Bernoulli's Law. Universität Frankfurt, 6. Januar 2011, abgerufen am 29. Juni 2016 (pdf; 674 kB, englisch). 
• Klaus Weltner: Physics of Flight - reviewed. Universität Frankfurt, 6. Januar 2011, abgerufen am 29. Juni 2016 (pdf; 576 kB, englisch). 
• Irrotational plane flows of an inviscid fluid, University of Genoa, Faculty of Engineering

1. ↑ ^{a b c d} Babinsky (2003): Flow over aerofoils, YouTube: „Flow over aerofoils“
2. ↑ Weltner (2016): Flugphysik, S. 17
3. ↑ NASA, Glenn Research Centre: "Lift occurs when a moving flow of gas is turned by a solid object. The flow is turned in one direction, and the lift is generated in the opposite direction, according to Newton's Third Law of action and reaction."
4. ↑ Babinsky (2003): How do wings work?, S. 502
5. ↑ ^{a b} A Physical Description of Flight, S. 4
6. ↑ ^{a b} A Physical Description of Flight, S. 6 ff
7. ↑ Wodzinski, Kap. 3: (PDF-Datei; 288 kB) „Wenn eine stationäre Strömung vorliegt, kann man die Kraft auf einen Körper in der Strömung bestimmen, indem man ein beliebiges Kontrollvolumen um den Körper legt und ein- und ausströmenden Impuls und den Druck an den Grenzflächen des Kontrollvolumens auswertet. Egal wie man das Kontrollvolumen legt, immer kommt die Auftriebskraft heraus“
8. ↑ Anderson, Eberhardt: Unterstanding Flight, 2. Auflage, S. 4
9. ↑ A Physical Description of Flight, S. 7
10. ↑ Bild einer Pilatus PC-24 von Paul Bowen auf www.boldmethod.com
11. ↑ Anderson, Eberhardt: Understanding Flight, 1. Auflage, S. 35ff
12. ↑ Anderson and Eberhardt, Kap. Air bending Over a Wing (PDF-Datei; 472 kB): "Think of two adjacent streamlines with different speeds. Since these streamlines have different velocities forces between them trying to speed up the slower streamline and slow down the faster streamline. The speed of air at the surface of the wing is exactly zero with respect to the surface of the wing. This is an expression of viscosity. The speed of the air increases with distance from the wing. Now imagine the first non-zero velocity streamline that just grazes the highpoint of the top of the wing. If it were initially to go straight back and not follow the wing, there would be a volume of zero velocity air between it and the wing. Forces would strip this air away from the wing and without a streamline to replace it, the pressure would lower. This lowering of the pressure would bend the streamline until it followed the surface of the wing."
13. ↑ Klaus Weltner: Misinterpretations of Bernoulli's Law. Universität Frankfurt, 6. Januar 2011, S. 3-6, abgerufen am 29. Juni 2016 (pdf; 674kB, englisch, Abschnitt 3): „This effect can be understood taking viscosity into consideration. In figure 7 we assume a stream to start. It will flow horizontally. But due to viscosity some layers of the adjacent air will be taken away by the stream. In this region –dotted in figure 7- the air is sucked away and hence gives rise to a reduction of pressure and thus generating a normal acceleration of the stream. By the end of this process the stream fits the shape of the curved sur-face, figure 6. This Gedankenversuch illustrates the importance of viscosity in generating a stationary flow.“ 
14. ↑ Hoffren, Kap. 2: "If this (die Kutta-Bedingung) is accepted as an axiom, the generation of lift instantly becomes equivalent to the generation of circulation."
15. ↑ Anderson and Eberhardt, Kap. Air bending Over a Wing (PDF; 483 kB): "Often, calculations of lift are made in the limit of zero viscosity. In these cases viscosity is re-introduced implicitly with the Kutta-Joukowski condition, which requires that the air come smoothly off at the trailing edge of the wing."
16. ↑ Anderson, Eberhardt: Unterstanding Flight, 2. Auflage, S. 2
17. ↑ Resonator-Podcast der Helmholtz-Gemeinschaft: Auftrieb (Folge 71, 23. Oktober 2015)